Найдите радиус окружности, в которой центральный угол величиной в \(\displaystyle 60^\circ \) опирается на хорду длины \(\displaystyle 3 \small.\)
Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности, \(\displaystyle AC=3\) – ее хорда, \(\displaystyle AOC \) – центральный угол, \(\displaystyle \angle AOC=60^\circ \small.\)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OAC \small.\) Он равнобедренный, так как \(\displaystyle OA=OC \small. \)
По свойству равнобедренного треугольника углы при основании \(\displaystyle AC\) равны.
Поскольку сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,} \) то
\(\displaystyle \angle OAC =\angle OCA = \frac{180^{\circ}-\angle AOC }{2}=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ} \small.\)
Так как все углы треугольника \(\displaystyle OAC\) составляют \(\displaystyle 60^{\circ} \small,\) то треугольник \(\displaystyle AOC\) – равносторонний. Следовательно,
\(\displaystyle OA=OC=AC=3 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .}\)