Skip to main content

Теория: Применение формулы суммы \(\displaystyle n\) первых членов геометрической прогрессии

Задание

Ивестны второй и четвертый члены геометрической прогрессии:

 \(\displaystyle b_2 = 3{ \small ,}\,b_4 = 12{\small .}\)

А чему может быть равна сумма первых четырех членов этой геометрической прогрессии \(\displaystyle S_4?\)

(Выберите все верные варианты ответа.)

Решение

Чтобы найти сумму членов геометрической прогрессии, найдем ее первый член и знаменатель.

По условию второй член  \(\displaystyle b_2 = 3\) и четвертый \(\displaystyle b_{4} = 12{\small .}\) Тогда есть два варианта для первого члена и знаменателя прогрессии

\(\displaystyle b_1=\frac{3}{2},\,q=2\) и \(\displaystyle b_1=-\frac{3}{2},\,q=-2\small.\)

Теперь найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии \(\displaystyle S_{4}{ \small ,} \) используя формулу:

Правило

Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии

Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна

\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)

где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.

Если \(\displaystyle b_1=\frac{3}{2},\,q=2\small,\) то

\(\displaystyle S_4=22{,}5\small.\)

Подставим значения \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{4}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{\frac{3}{2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{2}{\small:}\)

\(\displaystyle S_{\color{red}{4}}=\frac{\color{blue}{\dfrac{3}{2}}\cdot\left(1-\color{green}{2}^{\color{red}{4}}\right)}{1-\color{green}{2}}\)

Находим значение получившегося выражения:

\(\displaystyle S_{4}=\frac{\dfrac{3}{2}\cdot\left(1-2^{4}\right)}{1-2}=\frac{\dfrac{3}{2}\cdot(-15)}{-1}=\frac{45}{2}=22{,}5\small.\)

Если \(\displaystyle b_1=-\frac{3}{2},\,q=-2\small,\) то

\(\displaystyle S_4=7{,}5\small.\)

Таким образом, сумма первых четырех членов прогрессии может принимать одно из значений:

\(\displaystyle S_4=22{,}5\) или \(\displaystyle S_4=7{,}5\small.\)