Skip to main content

Теория: Свойства -3 (короткая версия)

Задание

В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна \(\displaystyle 17{\small.}\) Найдите длину средней линии этой трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle AC \perp BD\) – диагонали;
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle CH=17\) – высота трапеции.

Требуется найти длину \(\displaystyle \color{red}{l}\) средней линии этой трапеции.

\(\displaystyle \color{red}{l}=\frac{BC+AD}{2}=\color{red}{\Large ?}\)

Заметим, что

\(\displaystyle \angle OBC=\angle OCB=\angle OAD=\angle ODA=45^{\circ}{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Через точку пересечения диагоналей проведём высоту \(\displaystyle PF{\small.}\)

  • В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle BOC\) отрезок \(\displaystyle OP\) является высотой и медианой.

 

  • В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle AOD\) отрезок \(\displaystyle OF\) является высотой и медианой. 

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Значит,

\(\displaystyle OP=\frac{1}{2}\cdot BC{\small;}\)   \(\displaystyle OF=\frac{1}{2}\cdot AD{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle O\) лежит на отрезке \(\displaystyle PF{\small,}\) то

\(\displaystyle PF=OP+OF{\small;}\\ \)

\(\displaystyle PF=\frac{1}{2}\cdot BC+\frac{1}{2}\cdot AD{\small;}\\ \)

\(\displaystyle PF=\frac{BC+AD}{2}{\small.}\)

В результате получили, что длина средней линии равнобедренной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, равна высоте этой трапеции. То есть

\(\displaystyle \color{red}{l}=PF{\small.}\)

Так как высоты трапеции равны, то \(\displaystyle PF=17{\small.}\) Значит, длина средней линии этой трапеции равна \(\displaystyle 17{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 17{\small.}\)