Skip to main content

Теория: 07 Применение теоремы Вариньона при решении более сложных задач (короткая версия)

Задание

Точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) – середины сторон \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC{\small,}\) \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle DE\) выпуклого пятиугольника \(\displaystyle ABCDE\) соответственно. Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle T\) – середины отрезков \(\displaystyle KM\) и \(\displaystyle LN\) соответственно. Найдите длину отрезка \(\displaystyle FT{\small,}\) если \(\displaystyle AE=12{\small.}\)

\(\displaystyle FT=\)

Решение

\(\displaystyle ABCDE\) – выпуклый пятиугольник:

  • \(\displaystyle AE=12{\small;}\)
  • \(\displaystyle K\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle L\) – середина стороны \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – середина стороны \(\displaystyle DE{\small;}\)
  • \(\displaystyle F\) – середина отрезка\(\displaystyle KM{\small;}\)
  • \(\displaystyle T\) – середина отрезка\(\displaystyle LN{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle FT{\small.}\)

 

Выполним дополнительное построение.

Соединим отрезком точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D{\small.}\)

Пусть точка \(\displaystyle P\) – середина отрезка \(\displaystyle AD{\small.}\)

 

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle P\) являются серединами сторон \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC{\small,}\) \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle AD\) соответственно.

По теореме Вариньона

\(\displaystyle KLMP\) – параллелограмм.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

\(\displaystyle LP\) и \(\displaystyle KM\) – диагонали параллелограмма \(\displaystyle KLMP{\small.}\)

Точка \(\displaystyle F\) – середина диагонали \(\displaystyle KM{\small,}\) значит, \(\displaystyle F\) – точка пересечения диагоналей. Следовательно, точка \(\displaystyle F\) делит диагональ \(\displaystyle LP\) пополам. То есть

\(\displaystyle LF=FP{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle LNP{\small.}\)

  • \(\displaystyle LF=FP{\small;}\)
  • \(\displaystyle LT=TN{\small.}\)

Cледовательно, \(\displaystyle FT\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle LNP{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle FT \parallel PN\) и \(\displaystyle FT=\frac{1}{2}\cdot PN{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ADE{\small.}\)

  • \(\displaystyle DP=AP{\small;}\)
  • \(\displaystyle DN=EN{\small.}\)

Cледовательно, \(\displaystyle PN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ADE{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle PN \parallel AE\) и \(\displaystyle PN=\frac{1}{2}\cdot AE{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AE=12{\small:}\)

\(\displaystyle PN=\frac{1}{2}\cdot 12=6{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle FT=\frac{1}{2}\cdot PN=\frac{1}{2}\cdot 6=3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle FT=3{\small.}\)