Skip to main content

Теория: Деление одночлена на одночлен

Задание

Найдите частное:
 

\(\displaystyle \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9} : \left(\frac{8}{15}x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}\right)=\)
\frac{105}{88}x^4y^4z^4

 

Решение

Способ 1.

Заменим деление на черту дроби:

\(\displaystyle \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9} : \left(\frac{8}{15}x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}\right)=\cfrac{\phantom{1}\cfrac{7}{11}\ \ x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}\phantom{1}}{\cfrac{8}{15}\ \ x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}} {\small .}\)

Сгруппируем числовые коэффициенты в одну дробь, а переменные – в другую:

\(\displaystyle \cfrac{\phantom{1}\color{blue}{\cfrac{7}{11}}\ \ \color{green}{x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}}\phantom{1}}{\color{blue}{\cfrac{8}{15}}\ \ \color{green}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}}=\cfrac{\phantom{1}\color{blue}{\cfrac{7}{11}}\phantom{1}}{\color{blue}{\cfrac{8}{15}}} \frac{\color{green}{x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}}}{\color{green}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}}{\small .}\)

Найдем значение числовой дроби

\(\displaystyle \cfrac{\phantom{1}\color{blue}{\cfrac{7}{11}}\phantom{1}}{\color{blue}{\cfrac{8}{15}}}=\color{blue}{\frac{7}{11}}:\color{blue}{\frac{8}{15}}=\color{blue}{\frac{7}{11}}\cdot\color{blue}{\frac{15}{8}}=\frac{\color{blue}{105}}{\color{blue}{88}}\)

и применим формулу частного степеней:

\(\displaystyle \frac{\color{green}{x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}}}{\color{green}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}}=\color{green}{x^{\,7-3}y^{\,8-4}z^{\,9-5}}=\color{green}{x^{\,4}y^{\, 4}z^{\,4}}{\small .}\)

Подставим полученные результаты:

\(\displaystyle \cfrac{\phantom{1}\color{blue}{\cfrac{7}{11}}\phantom{1}}{\color{blue}{\cfrac{8}{15}}} \frac{\color{green}{x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}}}{\color{green}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}}=\color{blue}{\frac{105}{88}}\color{green}{x^{\,4}y^{\, 4}z^{\,4}}{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}: \left(\frac{8}{15}x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}\right)=\frac{105}{88}x^{\,4}y^{\, 4}z^{\,4}{\small .}\)

 

Способ 2.

Для того чтобы разделить на произведение \(\displaystyle \color{green}{\frac{8}{15}} \cdot \color{blue}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}{\small , }\) надо разделить на каждый из множителей:

\(\displaystyle \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9} : \left(\color{green}{\frac{8}{15}}\color{blue}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}\right)=\left( \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9} : \color{green}{\frac{8}{15}} \right) :\left(\color{blue}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}\right){\small .}\)

 

1. Сначала разделим на \(\displaystyle \frac{8}{15} {\small :}\)

\(\displaystyle \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9} : \color{green}{\frac{8}{15}} =\left(\frac{7}{11}: \color{green}{\frac{8}{15}}\right)x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}=\left(\frac{7}{11}\cdot \color{green}{\frac{15}{8}}\right)x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}=\frac{105}{88}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}{\small .}\)

 

2. Полученный результат разделим на \(\displaystyle x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{105}{88}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}:\left(\color{blue}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}\right)=\frac{105}{88}\frac{x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9}}{x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}}=\frac{105}{88}x^{\,7-3}y^{\,8-4}z^{\,9-5}=\frac{105}{88}x^{\,4}y^{\, 4}z^{\,4}{\small .}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{7}{11}x^{\,7}y^{\,8}z^{\,9} : \left(\frac{8}{15}x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}\right)=\frac{105}{88}x^{\,4}y^{\, 4}z^{\,4}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle \frac{105}{88}x^{\,4}y^{\, 4}z^{\,4} {\small .}\)