Skip to main content

Теория: График \(\displaystyle y=kx^2\pm b\) и сдвиг вдоль оси OY

Задание

Запишите уравнение параболы, полученной с помощью сдвига параболы \(\displaystyle y=x^2\) на \(\displaystyle 2\) единицы вверх (вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\)).
 

\(\displaystyle \color{green}{y=x^2}\)

Решение

Объяснение

Если некоторую точку с координатами \(\displaystyle (x_0\,; y_0)\) сдвинуть на \(\displaystyle \color{red}{A}\) единиц вверх  вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\), то получим точку с координатами \(\displaystyle (x_0\,; y_0+\color{red}{A}){\small :}\)

 

Пусть

\(\displaystyle x^{\prime}=x_0\) и \(\displaystyle y^{\prime}=y_0+\color{red}{A}{\small ,}\)

тогда 

\(\displaystyle \color{blue}{x_0}=\color{blue}{x^{\prime}}\) и \(\displaystyle \color{green}{y_0}=\color{green}{y^{\prime}}-\color{red}{A}{\small .}\)

Поэтому, если в \(\displaystyle \color{green}{y_0}=f(\color{blue}{x_0})\) заменить \(\displaystyle \color{blue}{x_0}\) на \(\displaystyle \color{blue}{x^{\prime}}\) и  \(\displaystyle \color{green}{y_0}\) на \(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}- \color{red}{A}{ \small ,}\) то получаем

\(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}- \color{red}{A}=f(\color{blue}{x^{\prime}})\)

или

\(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}=f(\color{blue}{x^{\prime}})+ \color{red}{A}{\small .}\)

Таким образом,

каждая точка после сдвига на \(\displaystyle \color{red}{A}\) единиц вверх вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\) удовлетворяет уравнению

\(\displaystyle y=f(x)+\color{red}{A}{\small .}\)

Поэтому можно сформулировать правило.

Правило

Если график функции \(\displaystyle y=f(x) \) сдвинуть на \(\displaystyle \color{red}{\rm A} \) единиц вверх, то получится график функции \(\displaystyle y=f(x)+\color{red}{\rm A}{\small . } \)

Нам дан график функции \(\displaystyle y=x^2{\small . } \) Мы его двигаем на \(\displaystyle \color{red}{2}\) единицы вверх.

Тогда, согласно правилу, у нас получится график функции

\(\displaystyle y= x^2+\color{red}{2}{\small . }\)


 

Подъем параболы