Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел \(\displaystyle 10\) километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за \(\displaystyle 6\) дней, а расстояние между городами составляет \(\displaystyle 120\) километров.
Так как турист каждый день проходит больше, чем в предыдущий, на одно и то же расстояние, то мы получаем арифметическую прогрессию.
При этом:
\(\displaystyle a_1\) километров пройдено туристом в первый день, \(\displaystyle a_2\) километров пройдено туристом во второй день,\(\displaystyle \ldots{ \small ,}\) \(\displaystyle a_{6}\) километров пройдено туристом на \(\displaystyle 6\)-й день.
Известно, что
\(\displaystyle a_1=10{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_1+\ldots +a_{6}=120{\small .}\)
Согласно формуле нахождения суммы \(\displaystyle n\) членов арифметической прогрессии,
\(\displaystyle S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle \frac{a_1+a_{6}}{2}\cdot 6=120{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle a_1=10{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{10+a_{6}}{2}\cdot 6=120{ \small ,}\)
\(\displaystyle 10+a_{6}=40{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{6}=30{\small .}\)
Теперь воспользуемся формулой \(\displaystyle n- \)го члена арифметической прогрессии для нахождения ее разности:
\(\displaystyle a_n=a_1+d(n-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle d\) – разность арифметической прогрессии.
Тогда для \(\displaystyle a_6 \) получаем:
\(\displaystyle a_6=a_1+d(6-1){ \small ,} \)
\(\displaystyle a_6=a_1+5d{\small .} \)
Так как \(\displaystyle a_1=10 \) и \(\displaystyle a_{6}=30{ \small ,} \) то, подставляя, получаем:
\(\displaystyle 30=10+5d{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5d=20{ \small ,} \)
\(\displaystyle d=4{\small .} \)
Поэтому
\(\displaystyle a_3=a_1+d(3-1)=a_1+2d=10+2\cdot 4=18{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 18{\small .}\)