Skip to main content

Теория: Сжатие или растяжение вдоль оси OY и график \(\displaystyle \small y=k\cdot x^{\,2}\)

Задание

Запишите уравнение параболы, полученной из параболы \(\displaystyle y=x^2\) её растяжением вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\) в \(\displaystyle \frac{7}{4}\) раза.


\(\displaystyle y=\)
\frac{7}{4}
\(\displaystyle x^2\)
Решение

Воспользуемся определением.

Определение

График функции

Графиком функции \(\displaystyle y=\color{blue}{f(x)}\) на плоскости называется множество точек

\(\displaystyle \{(x;\, \color{blue}{f(x)})| \, x\) принадлежит области определения\(\displaystyle \}{\small .}\)

Графиком параболы \(\displaystyle y=x^2\) является множество точек вида \(\displaystyle \{(x;\, x^2) \}\) для всех действительных чисел \(\displaystyle x{\small .}\)

Растянуть график параболы \(\displaystyle y=x^2\) вдоль оси \(\displaystyle \rm OY \) означает растянуть каждую точку этого графика вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small .} \)

Значит, нужно взять каждую точку из множества точек  \(\displaystyle \{(x;\, x^2) \}\) и растянуть ее вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small .} \)


Возьмем одну точку вида \(\displaystyle (x;\, x^2)\) и растянем ее в \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{7}{4}}\) раза вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small ,} \) то есть увеличим значение ординаты в \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{7}{4}}\) раза.

Если ординату этой точки \(\displaystyle (x;\, x^2)\) увеличить в \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{7}{4}}\) раза, то это будет точка с координатами \(\displaystyle (x;\, \color{blue}{ \frac{7}{4}} \cdot x^2){\small : }\)


Проделывая такую же операцию с каждой точкой вида \(\displaystyle (x;\,x^2) { \small ,}\) получаем множество точек \(\displaystyle \{(x;\, \color{blue}{ \frac{7}{4}}x^2) \}{ \small ,}\) что является графиком параболы \(\displaystyle y=\color{blue}{ \frac{7}{4}}x^2{\small :}\)

Ответ: \(\displaystyle y=\frac{7}{4}x^2{\small .}\)