Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\)

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \sqrt{5x+8}=x+3{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
\empty
\(\displaystyle x_2=\)
  • если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой;
  • если решений нет, то в первой ячейке поставьте символ \(\displaystyle \varnothing\)
Решение

Правило

Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{5x+8}=x+3{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{5x+8}=x+3\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x+8&=(x+3)^2{ \small ,}\\x+3&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим первое уравнение в системе и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.

Квадратное уравнение \(\displaystyle 5x+8=(x+3)^2\) не имеет решений.

\(\displaystyle 5x+8=(x+3)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x+8=x^2+6x+9{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2+x+1=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle D=1^2-4\cdot 1<0{ \small ,}\)

действительных решений нет.

Таким образом,

уравнение (действительных) решений не имеет.

Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .}\)