Skip to main content

Теория: Элементарные тригонометрические уравнения

Задание

Решите уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{1}{2}{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{2\pi}{3}
\(\displaystyle +2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}\)

Первое слагаемое из  интервала \(\displaystyle \left(0;\,\pi\right){\small .}\)
 

\(\displaystyle x_2=\)
-\frac{2\pi}{3}
\(\displaystyle +2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}\)

Первое слагаемое из интервала \(\displaystyle \left(-\pi;\,0\right){\small .}\)

Решение

Так как значения косинуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) и тригонометрическую окружность:

Получаем два набора решений.

Таблица значений тригонометрических функций

Так как

\(\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\)

то получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 


Так как 

\(\displaystyle \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\)

то получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)