Skip to main content

Теория: 10 Элементарные неравенства с модулем

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle |x|>7{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle |x|>7\) в виде системы эквивалентных неравенств.

По определению

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

получаем два случая:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Поэтому,

  • если \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle x >7{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • если \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle -x >7{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 0{ \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Значит, неравенство \(\displaystyle |x| >7\) эквивалентно совокупности двух систем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7 \end{aligned} \right.\)или\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Решим эти две системы.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge 0\) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство \(\displaystyle x>7\) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle 0\) и больше \(\displaystyle 7{\small :}\)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решение – \(\displaystyle x\in (7;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Умножим обе части второго неравенства на \(\displaystyle -1{\small : } \)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &>7 \,| \cdot (\color{blue}{ -1}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &<-7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 0\) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство \(\displaystyle x<-7\) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 0\) и меньше \(\displaystyle -7{\small :}\)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решение – \(\displaystyle x\in (-\infty;-7){\small .} \)


Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in (7;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-7) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-7)\cup (7;+\infty){\small .} \)