Для данного неравенства
\(\displaystyle -\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2} >0\)
укажите знаки, принимаемые выражением \(\displaystyle -\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2}\) на промежутках.
Обозначим \(\displaystyle f(x)=-\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2}{\small .} \) Определим знаки функции \(\displaystyle f(x) \) на соответствующих интервалах.
Для нахождения знака функции на интервале возьмем произвольное значение переменной из этого интервала и подставим его в функцию.
Сопоставим по порядку для функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2}\) данные интервалы и значение переменной из этого интервала.
| Интервал | Число из интервала | Значение функции на интервале |
| \(\displaystyle (-\infty;-3) \) | \(\displaystyle x=-4\) | \(\displaystyle f(-4) \) |
| \(\displaystyle (-3;0) \) | \(\displaystyle x=-2\) | \(\displaystyle f(-2) \) |
| \(\displaystyle (0;+\infty) \) | \(\displaystyle x=1\) | \(\displaystyle f(1) \) |
Далее определим знак функции на интервалах.
Найдем значение функции \(\displaystyle f(-4).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\frac{(\color{red}{ x}+3)^6 \color{red}{ x}^5}{\color{red}{ x}^7(\color{red}{ x}+3)^2}{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-4{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ -4})=-\frac{(\color{red}{ -4}+3)^6 \color{red}{ (-4)}^5}{\color{red}{ (-4)}^7(\color{red}{ -4}+3)^2}{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(-4)=-\frac{ 1}{ 16 }{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(-4)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-\infty;-3) \) функция отрицательна и пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Найдем значение функции \(\displaystyle f(-2).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\frac{(\color{red}{ x}+3)^6 \color{red}{ x}^5}{\color{red}{ x}^7(\color{red}{ x}+3)^2}{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-2{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ -2})=-\frac{(\color{red}{ -2}+3)^6 \color{red}{ (-2)}^5}{\color{red}{ (-2)}^7(\color{red}{ -2}+3)^2}{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(-2)=-\frac{ 1}{ 4}{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(-2)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-3;0) \) функция отрицательна и мы пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Найдем значение функции \(\displaystyle f(1).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\frac{(\color{red}{ x}+3)^6 \color{red}{ x}^5}{\color{red}{ x}^7(\color{red}{ x}+3)^2}{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=1{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ 1})=-\frac{(\color{red}{ 1}+3)^6 \color{red}{ 1}^5}{\color{red}{ 1}^7(\color{red}{ 1}+3)^2}{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(1)=-4^4{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(1)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (0;+\infty) \) функция отрицательна и мы пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Таким образом,
