Skip to main content

Теория: Трапеция (подготовительные задачи для второй части ЕГЭ)

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) меньшее основание \(\displaystyle BC\) равно \(\displaystyle 4{\small ,}\) прямая \(\displaystyle BE\) параллельна боковой стороне \(\displaystyle CD{\small .}\) Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABE{\small ,}\) если периметр трапеции \(\displaystyle ABCD\) равен \(\displaystyle 25{\small .}\)

17
Решение

Рассмотрим четырехугольник \(\displaystyle BCDE{\small .}\)

Тогда:

\(\displaystyle BE\parallel CD\) по условию,

\(\displaystyle BC\parallel ED\) как прямые, содержащие основания трапеции.

Значит, \(\displaystyle BCDE\) – параллелограмм. 

Следовательно, \(\displaystyle BC=ED\)и \(\displaystyle BE=CD\small.\)

 

Требуется найти периметр треугольника \(\displaystyle ABE\small.\)

\(\displaystyle \color{red}{P_{\triangle ABE}}=\color{red}{AB}+\color{red}{BE}+\color{red}{AE}\small.\)

Известно, что периметр трапеции \(\displaystyle ABCD\) равен \(\displaystyle 25\small.\)

\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA =25\small.\\ \)

По условию  \(\displaystyle \color{green}{BC}=\color{green}{ED}=\color{green}{4}\small.\)

Поскольку \(\displaystyle \color{red}{BE}=\color{red}{CD}\) и

\(\displaystyle DA=\color{red}{AE}+\color{green}{ED} \small,\)то

\(\displaystyle P_{ABCD}=\color{red}{AB}+\color{green}{BC}+\color{red}{CD}+\color{red}{AE}+\color{green}{ED} \small. \)   

То есть

\(\displaystyle \begin{aligned} P_{ABCD}&=\color{red}{P_{\triangle ABE}}+\color{green}{BC}+\color{green}{ED}=\\ &=\color{red}{P_{\triangle ABE}}+\color{green}{4}+\color{green}{4}=\color{red}{P_{\triangle ABE}}+8{\small .} \end{aligned}\)

 

Так как \(\displaystyle P_{ABCD}=25{\small ,} \) то 

\(\displaystyle \color{red}{P_{\triangle ABE}}+8=25{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{red}{P_{\triangle ABE}}=25-8=17{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 17{\small .}\)