Skip to main content

Теория: 04 Определение коэффициентов в функции корня квадратного (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f\left(x\right)=k\sqrt{x+b}-\frac{5}{4} \small.\) Найдите значение \(\displaystyle x \small,\) при котором \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4} \small.\)

\(\displaystyle x=\)

Решение

Чтобы найти значение \(\displaystyle x\small,\) при котором \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4} \small,\)

  • найдем неизвестные коэффициенты \(\displaystyle \color{blue}b\) и \(\displaystyle \color{orange}k\small,\)
  • решим уравнение \(\displaystyle \color{orange}k \cdot \sqrt{x+\color{blue}b}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\small.\)

Обозначим отмеченные точки на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=\color{orange}{k}\sqrt{x+\color{blue}b}-\frac{5}{4}\)  буквами \(\displaystyle \color{red}A\) и \(\displaystyle \color{Magenta}B \small.\)

Определим координаты этих точек:

  • \(\displaystyle x_1=\color{red}{0}\) – абсцисса,  \(\displaystyle y_1=\color{red}{-1}\) – ордината точки  \(\displaystyle \color{red}A\small,\)
  • \(\displaystyle x_2=\color{Magenta}{6}\) – абсцисса,  \(\displaystyle y_2=\color{Magenta}{0}\) – ордината точки  \(\displaystyle \color{Magenta}B\small.\)
     


 

Точки \(\displaystyle \color{red}{A(0;-1)}\) и \(\displaystyle \color{Magenta}{B(6;0)}\) лежат на графике функции   \(\displaystyle f\left(x\right)=\color{orange}{k}\sqrt{x+\color{blue}b}-\frac{5}{4}\small.\)

Значит,

  • при подстановке \(\displaystyle x=\color{red}{0}\) и \(\displaystyle y=\color{red}{-1}\)  в уравнение \(\displaystyle y=\color{orange}{k}\sqrt{x+\color{blue}{b}}-\frac{5}{4}\) получим первое верное равенство,
  • при подстановке \(\displaystyle x=\color{Magenta}{6}\) и \(\displaystyle y=\color{Magenta}{0}\) в уравнение  \(\displaystyle y=\color{orange}{k}\sqrt{x+\color{blue}{b}}-\frac{5}{4}\) получим второе верное равенство.

В итоге получаем систему уравнений:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\color{red}{-1}&=\color{orange}{k} \cdot \sqrt{\color{red}{0}+\color{blue}{b}}-\frac{5}{4}{\small,} \\[10px]\color{Magenta}{0}&=\color{orange}{k} \cdot \sqrt{\color{Magenta}{6}+\color{blue}{b}}-\frac{5}{4}{\small.}\end{aligned}\right.\)

Решим полученную систему. \(\displaystyle b=\frac{1}{4}\small,\ \ k=\frac{1}{2} \small.\)

Таким образом, исходная функция имеет вид:

  \(\displaystyle f\left(x\right)=\color{orange}{\frac{1}{2}}\sqrt{x+\color{blue}{\frac{1}{4}}}-\frac{5}{4} \small.\)

Найдем значение \(\displaystyle x\small,\) при котором \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4} \small.\) 

\(\displaystyle x=24{,}75 \small.\)

Ответ:\(\displaystyle 24{,}75 \small.\)