Skip to main content

Теория: Сложение дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (разложение на множители)

Задание

Найдите сумму дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}\,=\)
 
Решение

В выражении \(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Воспользуемся определением.

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

То есть требуется найти наименьшее число, которое делится на \(\displaystyle 14\cdot 22\) и \(\displaystyle 21\cdot 33{\small .}\)

Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 14\cdot 22\) и \(\displaystyle 21\cdot 33\) на простые множители.


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 14\cdot 22{\small :}\)

\(\displaystyle 14\cdot 22=2^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Разложим на простые множители число \(\displaystyle 21\cdot 33{\small :}\)

\(\displaystyle 21\cdot 33=3^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Получили сумму дробей:

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{15}{2^2\cdot7\cdot 11}+\frac{5}{3^2\cdot7\cdot 11}{\small .}\)


Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 14\cdot 22\) и \(\displaystyle 21\cdot 33{\small .}\)

\(\displaystyle НОК(14\cdot 22,21\cdot 33)=НОК( 2^2\cdot7\cdot 11, 3^2\cdot7\cdot 11)=2^2\cdot3^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11 \) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}\) и \(\displaystyle \frac{5}{21\cdot 33}{\small .}\)

 

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{15}{14\cdot 22}=\frac{15}{2^2\cdot 7\cdot 11} \longrightarrow \frac{15\cdot \color{blue}{3^2}}{2^2\cdot\color{blue}{3^2}\cdot 7\cdot 11}{ \small ,}\\[10px]\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{5}{ 3^2\cdot 7\cdot 11} \longrightarrow \frac{5\cdot \color{green}{ 2^2}}{\color{green}{ 2^2}\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{15}{2^2\cdot 7\cdot 11} +\frac{5}{ 3^2\cdot 7\cdot 11} = \\[10px]\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}= \frac{15\cdot \color{blue}{3^2}}{2^2\cdot\color{blue}{3^2}\cdot 7\cdot 11}+ \frac{5\cdot \color{green}{ 2^2}}{\color{green}{ 2^2}\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}=\frac{15\cdot 3^2+5\cdot 2^2}{ 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}{\small .}\end{aligned}\)


Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем складывая, получаем:

\(\displaystyle \frac{15\cdot 3^2+5\cdot 2^2}{ 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}=\frac{135+20}{ 2772}=\frac{155}{ 2772 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{155}{2772}{\small .}\)