Skip to main content

Теория: 03 Корни

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{\sqrt {125}}{\sqrt {45}-\sqrt {5}}=\)

Решение

Решение 1.

Разложим число \(\displaystyle 125\) на множители так, чтобы из одного корень извлекался бы нацело, и вынесем множитель из-под корня:

\(\displaystyle \frac{\sqrt {125}}{\sqrt {45}-\sqrt {5}}=\frac{\sqrt {\color{blue}{ 25}\cdot5}}{\sqrt {\color{green}{ 9}\cdot5}-\sqrt {5}}=\frac{\color{blue}{ 5}\sqrt {5}}{\color{green}{ 3}\sqrt {5}-\sqrt {5}}{\small.}\)

 

В знаменателе дроби вычитаются одинаковые корни, поэтому можно упростить такую разность:

\(\displaystyle\frac{{ 5}\sqrt {5}}{{ 3}\sqrt {5}-\sqrt {5}}=\frac{5\sqrt {5}}{2\sqrt {5}}{\small.}\)

Сократим полученную дробь на \(\displaystyle \sqrt {5}{\small: }\)

\(\displaystyle \frac{5\sqrt {5}}{2\sqrt {5}}=\frac{5}{2}=2{,}5{\small.}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \frac{\sqrt {125}}{\sqrt {45}-\sqrt {5}}=\frac{5\sqrt {5}}{3\sqrt {5}-\sqrt {5}}=\frac{5\sqrt {5}}{2\sqrt {5}}=\frac{5}{2}=2{,}5{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 2{,}5 {\small.} \)
 

Решение 2.

Чтобы сократить данную дробь, разложим ее знаменатель на множители – вынесем в знаменателе общий множитель \(\displaystyle \sqrt {5}\) за скобки:

\(\displaystyle\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {45}-\sqrt {5}}=\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5\cdot 9}-\sqrt {5}}=\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}(\sqrt {9}-1)}{\small.}\)


Упростим знаменатель:

\(\displaystyle \frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}(\sqrt {9}-1)}=\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}(3-1)}=\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}\cdot2}{\small.}\)

 Сократим дробь на общий множитель числителя и знаменателя – на \(\displaystyle \sqrt {5}\):

\(\displaystyle \frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}\cdot2}=\frac{\sqrt {5\cdot 25}}{\sqrt {5}\cdot2}=\frac{\cancel{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{ 25}}{\cancel{\sqrt{5}}\cdot2}=\frac{5}{2}=2{,}5{\small.} \)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \frac{\sqrt {125}}{\sqrt {45}-\sqrt {5}}=\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}(\sqrt {9}-1)}=\frac{\sqrt {125}}{\sqrt {5}\cdot2}=\frac{\sqrt {25}}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 2{,}5 {\small.} \)