Skip to main content

Теория: 06 Пирамида (объемы)

Задание

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно \(\displaystyle 3{\small .}\) Найдите объем пирамиды.

4,5
Решение

Пусть \(\displaystyle ABC\) – основание, \(\displaystyle S\) – вершина пирамиды.

1. По условию:

  • боковые ребра взаимно перпендикулярны, то есть \(\displaystyle SA\perp SB{\small ,}\) \(\displaystyle SB\perp SC{\small ,}\) \(\displaystyle SA\perp SC{\small ;}\)
  • боковые ребра равны \(\displaystyle 3{ \small ,} \) то есть \(\displaystyle SA=SB=SC=3{\small .}\)

2. Для вычисления объема пирамиды по формуле \(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{осн} \cdot h \) требуется знать площадь основания и высоту.

При этом в данном случае:

  • пирамида треугольная, поэтому за основание можно взять любую из боковых граней – их площади вычисляются как площади прямоугольных треугольников;
  • ребро \(\displaystyle SB \) перпендикулярно ребрам \(\displaystyle SA\) и \(\displaystyle SC\), поэтому перпендикулярно боковой грани \(\displaystyle SAC {\small .}\)

Значит, если взять \(\displaystyle SAC \) за основание, то \(\displaystyle SB\) будет высотой пирамиды.

Она равна

\(\displaystyle h=SB=3{\small .}\) 

Площадь основания \(\displaystyle SAC \) равна

\(\displaystyle S_{осн}=S_{\triangle SAC}=4{,}5 \)

Подставим \(\displaystyle h\) и \(\displaystyle S_{осн}\) в формулу для объема пирамиды:  

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{осн} \cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle SAC} \cdot SB = \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot 3= 4{,}5{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{,}5{\small .}\)

Замечание / комментарий

Чтобы строго доказать, что ребро \(\displaystyle SB\) перпендикулярно плоскости \(\displaystyle SAC{\small ,}\) воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Правило

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

По условию \(\displaystyle SB\perp SA\) и \(\displaystyle SB\perp SC{\small .}\)

Прямые \(\displaystyle SA\) и \(\displaystyle SC\) пересекаются в точке \(\displaystyle S\) и лежат в плоскости \(\displaystyle SAC{\small .}\) 

Следовательно, \(\displaystyle SB\) перпендикулярно плоскости \(\displaystyle SAC{\small .}\)