Skip to main content

Теория: 10 Комбинации круглых тел - 2 (в стадии наполнения)

Задание

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна \(\displaystyle 7 \sqrt 2 {\small.}\) Найдите радиус сферы.

Решение

Введем обозначения:

  • \(\displaystyle r\) – радиус основания конуса,
  • \(\displaystyle h\) – высота конуса, 
  • \(\displaystyle l\) – его образующая.

Известна образующая конуса \(\displaystyle l =7 \sqrt2\small.\) Требуется найти радиус его основания.

 

По условию центр сферы находится в центре основания конуса.   

Основание конуса является большим кругом шара.

Высота конуса равна его радиусу:  \(\displaystyle h=r \small\)

 Центры шара и конуса совпадают, поэтому основание конуса является большим кругом шара.

Тогда \(\displaystyle OA=r \) – радиус сферы и основания конуса.

Пусть  \(\displaystyle OB\) – высота конуса: \(\displaystyle OB=h \small .\)

Но \(\displaystyle OB\) одновременно является и радиусом сферы: 

\(\displaystyle OB=r \small .\)

Значит, 

 \(\displaystyle h=r \small .\)


Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BOA \small ,\) образованный радиусом основания конуса \(\displaystyle OA \)и его высотой \(\displaystyle OB \small .\)

Треугольник \(\displaystyle BOA\) – прямоугольный с равными катетами длины \(\displaystyle r \small .\)

Высота конуса \(\displaystyle OB \) перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle OA{\small . }\) 

Значит,  \(\displaystyle OB\) перпендикулярно \(\displaystyle OA\) и треугольник \(\displaystyle BOA \) прямоугольный с равными катетами длины \(\displaystyle r \small .\)

Гипотенуза \(\displaystyle AB=7 \sqrt2 \small, \) так как является образующей конуса.

 

 

Поэтому по теореме Пифагора получаем: 

\(\displaystyle AB^2=OB^2+OA^2\)

или

\(\displaystyle \left(7\sqrt2\right)^2=r^2+r^2\small,\)

откуда

\(\displaystyle 2r^2=98 \small,\)

\(\displaystyle r^2=49 \small.\)

Так как \(\displaystyle r\) – радиус,  то \(\displaystyle r>0 {\small,}\) поэтому

\(\displaystyle r=7{\small .}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 7{\small .} \)