Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна \(\displaystyle 7 \sqrt 2 {\small.}\) Найдите радиус сферы.
Введем обозначения:
- \(\displaystyle r\) – радиус основания конуса,
- \(\displaystyle h\) – высота конуса,
- \(\displaystyle l\) – его образующая.
Известна образующая конуса \(\displaystyle l =7 \sqrt2\small.\) Требуется найти радиус его основания.
По условию центр сферы находится в центре основания конуса.
Высота конуса равна его радиусу: \(\displaystyle h=r \small\)
Центры шара и конуса совпадают, поэтому основание конуса является большим кругом шара.
Тогда \(\displaystyle OA=r \) – радиус сферы и основания конуса. Пусть \(\displaystyle OB\) – высота конуса: \(\displaystyle OB=h \small .\) Но \(\displaystyle OB\) одновременно является и радиусом сферы: \(\displaystyle OB=r \small .\) Значит, \(\displaystyle h=r \small .\) |
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BOA \small ,\) образованный радиусом основания конуса \(\displaystyle OA \)и его высотой \(\displaystyle OB \small .\)
Высота конуса \(\displaystyle OB \) перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle OA{\small . }\)
Значит, \(\displaystyle OB\) перпендикулярно \(\displaystyle OA\) и треугольник \(\displaystyle BOA \) прямоугольный с равными катетами длины \(\displaystyle r \small .\)
Гипотенуза \(\displaystyle AB=7 \sqrt2 \small, \) так как является образующей конуса.
|
|  |
Поэтому по теореме Пифагора получаем:
\(\displaystyle AB^2=OB^2+OA^2\)
или
\(\displaystyle \left(7\sqrt2\right)^2=r^2+r^2\small,\)
откуда
\(\displaystyle 2r^2=98 \small,\)
\(\displaystyle r^2=49 \small.\)
Так как \(\displaystyle r\) – радиус, то \(\displaystyle r>0 {\small,}\) поэтому
\(\displaystyle r=7{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 7{\small .} \)