Skip to main content

Теория: Площадь поверхности (в стадии наполнения)

Задание

Высота цилиндра равна \(\displaystyle 5{\small ,}\) а диагональ \(\displaystyle BD\) его осевого сечения \(\displaystyle ABCD\)  равна  \(\displaystyle 13{\small .}\) Найдите площадь боковой поверхности \(\displaystyle {S_{бок}}{\small }\) цилиндра. В ответе укажите\(\displaystyle \frac{S_{бок}}{\pi}{\small .}\)

Решение

По условию

  • \(\displaystyle ABCD\) – осевое сечение цилиндра,
  • высота цилиндра равна \(\displaystyle 5{\small ,}\)
  • диагональ осевого сечения  \(\displaystyle BD=13{\small .}\)

Требуется найти 

площадь боковой поверхности цилиндра \(\displaystyle S_{бок}{\small .}\)

 

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, зная две величины: радиус основания \(\displaystyle r\) и высоту \(\displaystyle h{\small .}\)

Памятка. Площадь боковой поверхности цилиндра.
 

Правило

Площадь боковой поверхности цилиндра

\(\displaystyle S_{бок}=\color{Magenta}{2\pi r}\cdot \color{Blue}{h} { \small } \)

Высота цилиндра дана. Найдём радиус основания.


Рассмотрим осевое сечение цилиндра.

Воспользуемся следующим фактом:

Информация

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником. При этом:

  • две противоположные стороны прямоугольника – образующие цилиндра,
  • две другие стороны прямоугольника – диаметры оснований цилиндра.

Таким образом, четырёхугольник \(\displaystyle ABCD{\small }\) является прямоугольником.

Его смежные стороны – это диаметр основания цилиндра \(\displaystyle AD\) и образующая цилиндра \(\displaystyle AB{\small .}\)

  • Диаметр основания цилиндра \(\displaystyle AD\) равен удвоенному радиусу:

\(\displaystyle AD=2r{\small .}\)

  • Длина образующей цилиндра \(\displaystyle AB\) равна высоте цилиндра:

\(\displaystyle AB=5{\small .}\)

 

Диаметр \(\displaystyle AD{\small,}\) а, значит, и радиус основания цилиндра найдём из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABD {\small .}\)

\(\displaystyle r=6 {\small} \)
 

\(\displaystyle BD=13\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABD \) с катетами \(\displaystyle AD=2r{\small }\) и  \(\displaystyle AB=5{\small .}\)

По теореме Пифагора 

\(\displaystyle BD^2=AD^2+AB^2{ \small,} \)

\(\displaystyle 13^2=(2r)^2+5^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle 169=4r^2+25{ \small .}\)

\(\displaystyle 4r^2=144{ \small .}\)

\(\displaystyle r^2=36{ \small .}\)

Отсюда 

\(\displaystyle r=6\) или \(\displaystyle r=-6{ \small .}\)

Но радиус основания цилиндра, как длина отрезка, может принимать только положительные значения.
Поэтому:

\(\displaystyle r =6{ \small .} \)


Итак, радиус цилиндра \(\displaystyle r\) равен \(\displaystyle 6{ \small ,}\) высота цилиндра \(\displaystyle h{\small }\) дана по условию и равна \(\displaystyle 5{ \small .}\)

Подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности: 

\(\displaystyle S_{бок}=2\pi r \cdot h{\small .}\)

Получим:

\(\displaystyle S_{бок}=2\pi \cdot 6 \cdot 5=60\pi{\small .}\)

В ответе требуется указать \(\displaystyle \frac{S_{бок}}{\pi}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle 60{\small .}\)

Ответ:  \(\displaystyle 60{\small .}\)