Если \(\displaystyle \frac{A}{B}\) – рациональная дробь и \(\displaystyle C\) – ненулевое число или ненулевой многочлен, то
\(\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B \cdot C}{\small .}\)
Из этого правила можно получить следующий критерий.
Критерий равенства дробей
\(\displaystyle \frac{\color{green}{A}}{\color{green}{B}}=\frac{\color{blue}{X}}{\color{blue}{Y}}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle \color{green}{A}\cdot \color{blue}{Y}=\color{blue}{X}\cdot \color{green}{B}\)
Если \(\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{X}{Y} {\small ,}\) то найдется такое ненулевое \(\displaystyle \color{red}{C}{\small ,}\) что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}A&=\color{red}{C}\cdot X,\\B&=\color{red}{C}\cdot Y{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перемножая правую часть первого равенства с левой второго равенства и левую часть первого уравнения с правой частью второго, получаем:
\(\displaystyle A\cdot (\color{red}{C}\cdot Y)= B \cdot (\color{red}{C}\cdot X){\small ,}\)
\(\displaystyle \color{red}{C}\cdot A\cdot Y= \color{red}{C}\cdot B \cdot X{\small .}\)
Сокращаем \(\displaystyle \color{red}{C}{\small : }\)
\(\displaystyle A\cdot Y= B \cdot X{\small .}\)
Обратно. Пусть для \(\displaystyle \frac{A}{B}\) и \(\displaystyle \frac{X}{Y} \) верно, что \(\displaystyle A\cdot Y= B \cdot X{\small .}\)
Умножим обе части обе части равенства на дробь \(\displaystyle \frac{1}{Y\cdot B}{\small : }\)
\(\displaystyle A\cdot Y \cdot \frac{1}{Y\cdot B}= B \cdot X \cdot \frac{1}{Y\cdot B}{\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{A\cdot Y}{Y\cdot B}= \frac{B \cdot X}{Y\cdot B}\)
или
\(\displaystyle \frac{A\cdot Y}{B \cdot Y}= \frac{B \cdot X}{B\cdot Y}{\small .}\)
По определению, \(\displaystyle \frac{A\cdot \color{red}{Y}}{B \cdot \color{red}{Y}}=\frac{A}{B}\) и \(\displaystyle \frac{\color{red}{B} \cdot X}{\color{red}{B}\cdot Y}=\frac{X}{Y}{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{A}{B}= \frac{ X}{Y}{\small .}\)