Теорема синусов
В треугольнике \(\displaystyle ABC\)
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{CA}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}=2R \small.\)
где \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности.
Доказательство.
Докажем, что
\(\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=2R.\)
1. Если угол \(\displaystyle B\) прямой, то тогда \(\displaystyle {\sin B}=1,\) \(\displaystyle {CA}\) является диаметром, и равенство выполняется.
2. Если угол \(\displaystyle B\) не является прямым, то проведем диаметр \(\displaystyle AD\) и хорду \(\displaystyle DC.\)
Допустим, угол \(\displaystyle B\) острый.
Вписанные углы \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC\) опираются на одну дугу, а значит равны. Тогда
\(\displaystyle \sin D=\sin B.\)
Поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой, то треугольник \(\displaystyle ADC\) прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ADC\)
\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)
Тогда
\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)
\(\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=2R.\)
3. Рассмотрим случай, когда угол \(\displaystyle B\) тупой.
Четырехугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность.
По свойству вписанного четырехугольника,
\(\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}.\)
Тогда
\(\displaystyle \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC.\)
По формуле привидения,
\(\displaystyle \sin D=\sin (\angle ADC)=\sin (180^{\circ}-\angle ABC)=\sin (\angle ABC)=\sin B.\)
Поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой, то треугольник \(\displaystyle ADC\) прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ADC\)
\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)
Тогда
\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)
\(\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=2R.\)
Два других соотношения
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R\) и \(\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R\)
доказываются аналогично.