Найдите произведение:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
1. Сначала заметим, что так как \(\displaystyle -z\cdot 44z^{\,3}=-44\cdot (z\cdot z^{\,3})=-44\cdot z^{\,1+3}=-44z^{\,4}{\small ,}\) то
\(\displaystyle -3z^{\,2}(-z\cdot 44z^{\,3}+5z+4z^{\,2}(11z^{\,2}-2z+1))= -3z^{\,2}(-44z^{\,4}+5z+4z^{\,2}(11z^{\,2}-2z+1)) {\small .}\)
2. Раскроем теперь внутренние скобки, умножив в них каждое слагаемое на \(\displaystyle 4z^{\,2}\) и преобразовав каждый получившийся одночлен к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{4z^{\,2}}(11z^{\,2}-2z+1)&= \color{blue}{4z^{\,2}}\cdot 11z^{\,2}-\color{blue}{4z^{\,2}}\cdot 2z+\color{blue}{4z^{\,2}}\cdot 1=\\ &=(4\cdot 11)\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,2})-(4\cdot 2)\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)+4z^{\,2}=\\ &=44\cdot z^{\,2+2}-8\cdot z^{\,2+1}+4z^{\,2}=\\ &=44z^{\,4}-8z^{\,3}+4z^{\,2} {\small .}\end{aligned}\)
Тогда
\(\displaystyle -3z^{\,2}(-44z^{\,4}+5z+4z^{\,2}(11z^{\,2}-2z+1))=-3z^{\,2}(-44z^{\,4}+5z+44z^{\,4}-8z^{\,3}+4z^{\,2}){\small .}\)
3. Преобразуем многочлен в скобках к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle z\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned} -3z^{\,2}(-44\color{blue}{z^{\,4}}+5z+44\color{blue}{z^{\,4}}-8z^{\,3}+4z^{\,2})&= -3z^{\,2}((-44\color{blue}{z^{\,4}}+44\color{blue}{z^{\,4}})-8z^{\,3}+4z^{\,2}+5z\,)=\\ &=-3z^{\,2}((-44+44)\color{blue}{z^{\,4}}-8z^{\,3}+4z^{\,2}+5z\,)=\\ &=-3z^{\,2}(0\cdot\color{blue}{z^{\,4}}-8z^{\,3}+4z^{\,2}+5z\,)=\\ &=-3z^{\,2}(-8z^{\,3}+4z^{\,2}+5z\,) {\small .}\end{aligned}\)
4. Еще раз раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle -3z^{\,2}{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{-3z^{\,2}}\cdot (-8z^{\,3}+4z^{\,2}+5z\,)=\\ \kern{8em} =(\color{blue}{-3z^{\,2}})\cdot (-8z^{\,3})+(\color{blue}{-3z^{\,2}})\cdot 4z^{\,2}+(\color{blue}{-3z^{\,2}})\cdot 5z=\\ \kern{8em} =((-3)\cdot (-8))\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,3})+((-3)\cdot 4)\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,2})+((-3)\cdot 5)\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)=\\ \kern{8em} =24\cdot z^{\,2+3}-12\cdot z^{\,2+2}-15\cdot z^{\,2+1}=\\ \kern{21em} =24z^{\,5}-12z^{\,4}-15z^{\,3} {\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle -3z^{\,2}(-z\cdot 44z^{\,3}+5z+4z^{\,2}(11z^{\,2}-2z+1))=24z^{\,5}-12z^{\,4}-15z^{\,3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 24z^{\,5}-12z^{\,4}-15z^{\,3}{\small .}\)