Skip to main content

Теория: Разложение на множители, комбинация различных методов (* доп. раздел)

Задание

Разложите на множители:
 

\(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20+7y\,(\,y+2)^2=\big(\)
y+2
\(\displaystyle \big)^2\big(\)
5+7y
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Нам дано выражение

\(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20+7y\,(\,y+2)^2{\small . }\)

Слагаемые в нем уже сгруппированы по двум частям \(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20\) и \(\displaystyle 7y\,(\,y+2)^2{\small . }\)

Разложим на множители первую часть этого выражения \(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20{\small . }\) Для этого сначала вынесем за скобки общий множитель:

\(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20=5(\,y^{\,2}+4y+4){\small . } \)

Теперь свернем выражение в скобках \(\displaystyle (\,y^{\,2}+4y+4) \) как квадрат суммы:

\(\displaystyle 5(\,y^{\,2}+4y+4)=5(\,y^{\,2}+2\cdot y\cdot 2+2^2)=5(\,y+2)^2{\small . }\)

Подставляя получившееся произведение в исходное выражение, получаем:

\(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20+7y\,(\,y+2)^2=5(\,y+2)^2+7y\,(\,y+2)^2{\small . }\)


Видим, что обе части получившегося выражения имеют один и тот же множитель \(\displaystyle \color{blue}{ (\,y+2)^2}{\small . }\) Значит, его можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 5\color{blue}{ (\,y+2)^2}+7y\,\color{blue}{ (\,y+2)^2}= \color{blue}{ (\,y+2)^2}(5+7y\,) {\small . }\)


Таким образом,

\(\displaystyle 5y^{\,2}+20y+20+7y\,(\,y+2)^2=(\,y+2)^2(5+7y\,){\small . }\)


Ответ: \(\displaystyle (\,y+2)^2(5+7y\,){\small . } \)