Задание
Решите уравнение:
\(\displaystyle 8^{3-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} \small.\)
\(\displaystyle x=\)
Решение
Перепишем обе части в виде степеней с основанием \(\displaystyle 2 \small:\)
\(\displaystyle 8^{3-x} =(2^3)^{3-x} =2^{3(3-x)} = \color{blue}{ 2}^{9-3x} \small,\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} =(2^{-2})^{x-1} =2^{-2(x-1)} = \color{blue}{ 2}^{2-2x} \small.\)
Получим уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{2}^{9-3x} = \color{blue}{2}^{2-2x} \small.\)
Так как основания левой и правой частей одинаковы, то показатели равны. Следовательно,
\(\displaystyle 9-3x = 2-2x \small;\)
\(\displaystyle -3x+2x= 2-9 \small;\)
\(\displaystyle -x= -7 \small;\)
\(\displaystyle x = 7 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 7 \small.\)