Найдите корень уравнения
\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{2x-6} :\left(\frac{1}{4}\right)^{5-3x} =0{,}25^4{\small .}\)
Представим обе части уравнения в виде степени одного и того же числа.
Для этого переведем десятичные дроби в обычные. Поскольку \(\displaystyle 0{,}25=\frac{ 25}{ 100 }=\frac{1}{4}{\small,}\) получаем
\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{2x-6} :\left(\frac{1}{4}\right)^{5-3x} =\left(\frac{1}{4}\right)^4{\small .}\)
По свойствам степеней
\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{2x-6} :\left(\frac{1}{4}\right)^{5-3x} =\left(\frac{1}{4}\right)^{(2x-6)-(5-3x)}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-6-5+3x}=\left(\frac{1}{4}\right)^{5x-11}{\small .}\)
Значит, исходное уравнение \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{2x-6} :\left(\frac{1}{4}\right)^{5-3x} =0{,}25^4\) можно переписать как
\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{5x-11} =\left(\frac{1}{4}\right)^4{\small .}\)
Так как основание одинаковое, можно приравнять степени:
\(\displaystyle 5x-11=4{\small .}\)
Решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle 5x=4+11{\small ,}\)
\(\displaystyle 5x=15{\small ,}\)
\(\displaystyle x=3{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 3{\small .}\)