Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):
\(\displaystyle \log_3(8+10x)-2=\log_3(3+x){\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log_3(8+10x)-2=\log_3(3+x){\small ,}\) а затем сделаем проверку.
Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.
Перепишем левую часть как логарифм по основанию \(\displaystyle 3{\small .}\)
По определению логарифма
\(\displaystyle 2=\log_3 3^2=\log_3 9{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_3(8+10x)-\log_3 9 =\log_3 (3+x){\small .}\)
По свойствам логарифма
\(\displaystyle \log _3(8+10x)-\log _3 9=\log_3 \frac{8+10x}{9}{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \log_3(8+10x)-\log_3 9=\log_3 (3+x)\) можно переписать как
\(\displaystyle \log _3\frac{8+10x}{9}=\log_3 (3+x){\small .}\)
В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:
\(\displaystyle \frac{8+10x}{9}=3+x {\small .}\)
Умножим обе части на \(\displaystyle 9\) и решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle 8+10x=27+9x{\small ,}\)
\(\displaystyle 10x-9x=27-8{\small ,}\)
\(\displaystyle x=19{\small .}\)
Проверка: подставим \(\displaystyle x=19\) в исходное уравнение. Получаем:
\(\displaystyle \log_3(8+10\cdot 19)-2=\log_3(3+19){\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 198-\log_3 9=\log_3 22{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 \frac{198}{9}=\log_3 22\) – верно.
Ответ: \(\displaystyle 19{\small .} \)