Skip to main content

Теория: Дисперсия и стандартное отклонение

Задание

Информация

Компания по производству спичек утверждает, что каждый коробок в среднем содержит \(\displaystyle 50\) спичек.

Для проверки этого заявления было закуплено \(\displaystyle 30\) коробков.

Найдите среднее и стандартное отклонение полученного набора данных.

По таблице частот найдите среднее.

Количество спичекЧастота
\(\displaystyle 47\)\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 48\)\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 49\)\(\displaystyle 10\)
\(\displaystyle 50\)\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle 51\)\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle 52\)\(\displaystyle 1\)
Сумма:\(\displaystyle 30\)

 

\(\displaystyle \overline{x}=\)

Заполните таблицу отклонений:

Количество спичек \(\displaystyle (x)\)Отклонение от среднего \(\displaystyle x-\overline{x}\)Квадрат отклонения (\(\displaystyle x-\overline{x})^2\)Частота
\(\displaystyle 47\)\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 48\)\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 49\)\(\displaystyle 10\)
\(\displaystyle 50\)\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle 51\)\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle 52\)\(\displaystyle 1\)
Сумма:  \(\displaystyle 30\)

Вычислите стандартное отклонение:

\(\displaystyle \sigma=\)
\sqrt{\frac{52}{30}}
Решение

Сумма частот равна \(\displaystyle 30\) тогда среднее равно:

\(\displaystyle \overline{x}=\frac{47\cdot5+48\cdot5+49\cdot10+50\cdot6+51\cdot3+52\cdot1}{30}=\frac{1470}{30}=49\small.\)

Среднее равно \(\displaystyle \overline{x}=49\small.\)

Вычислим отклонения, заполняя таблицу:

Количество спичек \(\displaystyle (x)\)Отклонение от среднего \(\displaystyle x-\overline{x}\)Квадрат отклонения (\(\displaystyle x-\overline{x})^2\)Частота
\(\displaystyle 47\)\(\displaystyle 47-49=-2\)\(\displaystyle (-2)^2=4\)\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 48\)\(\displaystyle 48-49=-1\)\(\displaystyle (-1)^2=1\)\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 49\)\(\displaystyle 49-49=0\)\(\displaystyle 0^2=0\)\(\displaystyle 10\)
\(\displaystyle 50\)\(\displaystyle 50-49=1\)\(\displaystyle 1^2=1\)\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle 51\)\(\displaystyle 51-49=2\)\(\displaystyle 2^2=4\)\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle 52\)\(\displaystyle 52-49=3\)\(\displaystyle 3^2=9\)\(\displaystyle 1\)
Сумма:  \(\displaystyle 30\)

 

Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии. Поэтому сначала вычислим дисперсию.

Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений. Вычислим ее, используя таблицу:

\(\displaystyle D=\frac{4\cdot5+1\cdot5+0\cdot10+1\cdot6+4\cdot3+9\cdot1}{30}=\frac{52}{30}=\frac{26}{15}\small.\)

Теперь, зная дисперсию, вычислим стандартное отклонение:

\(\displaystyle \sigma=\sqrt{D}=\sqrt{\frac{26}{15}}\small.\)