Имеются два набора данных по \(\displaystyle 40\) чисел в каждом.
По этим данным построили столбчатые диаграммы.
Столбчатая диаграмма первого набора:
| Столбчатая диаграмма второго набора:
|
Среднее обоих наборов равно \(\displaystyle 9\small.\)
Дисперсия первого набора данных – \(\displaystyle D_1\small,\) второго – \(\displaystyle D_2\small.\)
Какая из дисперсий больше?
\(\displaystyle D_1\) \(\displaystyle D_2\)
Вычислим дисперсию первого набора данных, затем дисперсию второго набора и сравним их.
Представим данные первой диаграммы в виде таблицы. Сразу добавим в таблицу отклонения и их квадраты.
Среднее известно из условия \(\displaystyle \overline{x}=9\small.\)
Столбчатая диаграмма первого набора:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 13\) | |
| Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | \(\displaystyle -4\) | \(\displaystyle -3\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | |
| Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 16\) | |
| Количество значений в наборе | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 14\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 1\) | Сумма: \(\displaystyle 40\) |
Используя третью и четвертую строки, находим дисперсию:
\(\displaystyle D_1=\frac{16\cdot1+9\cdot2+4\cdot3+1\cdot7+0\cdot14+1\cdot7+4\cdot3+9\cdot2+16\cdot1}{40}=\frac{46}{40}=2{,}65\small.\)
Теперь аналогично подсчитаем дисперсию второго набора данных.
Отметим, что ни одна строка таблицы, кроме строки "Количество значений в наборе", не меняется.
Столбчатая диаграмма второго набора:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 13\) | |
| Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | \(\displaystyle -4\) | \(\displaystyle -3\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | |
| Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 16\) | |
| Количество значений в наборе | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 2\) | Сумма: \(\displaystyle 40\) |
Используя третью и четвертую строки, находим дисперсию:
\(\displaystyle D_2=\frac{16\cdot2+9\cdot3+4\cdot5+1\cdot6+0\cdot8+1\cdot6+4\cdot5+9\cdot3+16\cdot2}{40}=\frac{170}{40}=4{,}25\small.\)
Сравнивая дисперсии, получаем:
\(\displaystyle D_1=2{,}65<4{,}25=D_2\small.\)