Skip to main content

Теория: 05 Теорема Пифагора

Задание

В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ABC\)  основание \(\displaystyle AC=80 {\small,}\) высота \(\displaystyle BK {\small,}\) проведенная к основанию, равна \(\displaystyle 9 {\small.}\) Точка \(\displaystyle P\) – середина стороны \(\displaystyle BC {\small.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle KP {\small.}\)

Решение

По условию \(\displaystyle \triangle ABC\) – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

Так как \(\displaystyle BK\) – высота \(\displaystyle \triangle ABC{\small,}\)  то

  • \(\displaystyle BK \perp AC {\small,}\)
  • точка \(\displaystyle K\) – середина стороны \(\displaystyle AC {\small,} \)
  • \(\displaystyle AK=KC=\frac{1}{2} \cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 80=40 {\small.}\)

 

Отрезок \(\displaystyle KP\) соединяет середины сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC\) треугольника \(\displaystyle ABC {\small.}\)

Значит, \(\displaystyle KP\) – средняя линия треугольника. 

По правилу

Правило

Средняя линия треугольника параллельна стороне, против которой она лежит, и равна её половине.

получаем

\(\displaystyle KP=\frac{1}{2}\cdot AB {\small.}\)
 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABK\small.\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle AB^2=AK^2+BK^2 {\small,}\)

\(\displaystyle AB^2=40^2+9^2=1600+81=1681=41^2 {\small.}\)

Так как длина отрезка положительна, то

\(\displaystyle AB=41 {\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle KP=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 41 =20{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 20{,}5 {\small.}\)