Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 42\small,\) боковая сторона равна \(\displaystyle 39 \small.\) Найдите длину диагонали трапеции.
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция, в которой:
Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, то \(\displaystyle \\ BHKC \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K = BC= 12 \small.\) | ![]() |
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит, \(\displaystyle \begin{aligned} AH&=DK=\frac{AD-BC}{2}=\\ \\ &=\frac{42-12}{2}=\frac{30}{2}=15 \small. \end{aligned}\) | ![]() |
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CKD\small.\)
Найдем высоту \(\displaystyle CK\) трапеции. По теореме Пифагора \(\displaystyle CD^2=CK^2+KD^2 {\small.}\) Значит, \(\displaystyle CK^2=CD^2-KD^2\small,\) \(\displaystyle CK^2=39^2-15^2=1521-225=1296=36^2\small.\) | ![]() |
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle CK=36\small.\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ACK \small,\) в котором:
Найдем диагональ \(\displaystyle AC\) трапеции. По теореме Пифагора \(\displaystyle AC^2=AK^2+CK^2 {\small,}\) \(\displaystyle AC^2=27^2+36^2=729+1296=2025=45^2 \small.\) | ![]() |
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=45 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 45 {\small .}\)