Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 42,\) а площадь \(\displaystyle 98.\) Найдите большую сторону прямоугольника.
Пусть \(\displaystyle AB=x\) – меньшая сторона прямоугольника, а \(\displaystyle AD=y\) – большая сторона прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle P=2(AB+AD).\) Известно, что \(\displaystyle P=42.\)
Значит,
\(\displaystyle \color{blue}{ 2(x+y)=42}.\)
Площадь треугольника равна \(\displaystyle S=AB\cdot AD.\) Известно, что \(\displaystyle S=98.\)
Значит,
\(\displaystyle \color{green}{ x\cdot y=98}.\)
Получаем систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 2(x+y)}&\color{blue}{ =42}{ \small ,}\\\color{green}{ x\cdot y}&=\color{green}{ 98 }{\small .}\end{aligned}\right. \)
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle 2(x+y)=42 \, \bigg|:\color{red}{2},\)
\(\displaystyle x+y=21,\)
\(\displaystyle y=21-x.\)
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
\(\displaystyle x\cdot (21-x)=98,\)
\(\displaystyle 21x-x^2=98,\)
\(\displaystyle 21x-x^2-98=0,\)
\(\displaystyle x^2-21x+98=0.\)
Решим квадратное уравнение.
Если \(\displaystyle x=7,\) то \(\displaystyle y=21-x=14.\)
Если \(\displaystyle x=14,\) то \(\displaystyle y=21-x=7.\)
Поскольку \(\displaystyle x\) – меньшая сторона прямоугольника, то \(\displaystyle x=7, \) \(\displaystyle y=14.\)
Ответ: \(\displaystyle 14{\small .}\)