Угол \(\displaystyle ACB\) равен \(\displaystyle 34^\circ \small,\) его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности в точке \(\displaystyle A \small.\) Угол \(\displaystyle ABC\) равен \(\displaystyle 32^\circ \small.\) Найдите угол \(\displaystyle AEC \) (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол \(\displaystyle ABE\) опирается на дугу \(\displaystyle AE \small.\)
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle ABE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE} \small.\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}=\angle ABE=\angle ABC=32^{\circ} \small.\)
По теореме об угле между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых между ними.
получаем:
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE} \small.\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}+\angle ACB=32^{\circ}+34^{\circ}=66^{\circ} \small.\)
Вписанный угол \(\displaystyle AEB\) опирается на дугу \(\displaystyle \color{green}{AB} \small.\)
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle AEB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}=66^{\circ} \small.\)
Так как углы \(\displaystyle \angle AEC\) и \(\displaystyle \angle AEB\) смежные, то их сумма равна \(\displaystyle 180^{\circ} \small,\)
\(\displaystyle \angle AEC=180^{\circ}-\angle AEB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ} \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 114 {\small .}\)