Раскройте скобки и вынесите общий множитель со знаком плюс за скобки так, чтобы члены в скобках не имели общего множителя:
\(\displaystyle -6a\,(5bx-15xc)+45ayc=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)\)
Сначала раскроем скобки, умножив на \(\displaystyle -6a\) каждый член выражения \(\displaystyle 5bx-15xc\):
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{red}{-6a} \cdot (5bx-15xc)+45ayc&=\color{red}{(-6a)}\cdot 5bx-\color{red}{(-6a)}\cdot 15xc+45ayc=\\[10px]&=\Big((\color{red}{-6})\cdot 5\Big)\cdot \color{red}{a}bx- \Big((\color{red}{-6})\cdot 15\Big)\cdot \color{red}{a}xc+45ayc= \\[10px]&=-30abx+90axc+45ayc.\end{aligned}\)
Теперь найдем общий множитель, который нужно вынести за скобки.
Выражение \(\displaystyle -30abx+90axc+45ayc\) состоит из трех элементарных выражений \(\displaystyle \color{blue}{30}\color{green}{abx}, \, \color{blue}{90}\color{green}{axc}\) и \(\displaystyle \color{blue}{45}\color{green}{ayc}.\)
Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках элементарные выражения не имели общих множителей.
Вычислим этот множитель для \(\displaystyle 30abx\), \(\displaystyle 90axc\) и \(\displaystyle 45ayc\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и общих параметров.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{30},\, \color{blue}{90}\) и \(\displaystyle \color{blue}{45}.\)
Воспользуемся разложением на множители или алгоритмом Евклида для последовательного нахождения наибольших общих делителей.
Сначала найдем наибольший делитель первых двух коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{30},\color{blue}{90})=30.\) Затем найдем наибольший общий делитель полученного числа и третьего коэффициента: \(\displaystyle НОД(30,\color{blue}{45})=15.\) Таким образом, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle {\bf 15}.\) - Найдем общие параметры.
Выражение \(\displaystyle 30\color{green}{abx}\) дает параметры \(\displaystyle \color{green}{a},\) \(\displaystyle \color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{green}{x}.\) Выражение \(\displaystyle 90\color{green}{axc}\) дает параметры \(\displaystyle \color{green}{a},\) \(\displaystyle \color{green}{x}\) и \(\displaystyle \color{green}{c}.\)
Выражение \(\displaystyle 45\color{green}{ayc}\) дает параметры \(\displaystyle \color{green}{a},\) \(\displaystyle \color{green}{y}\) и \(\displaystyle \color{green}{c}.\) Данные выражения имеют только один общий параметр – \(\displaystyle {\pmb a}.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle -30abx+90axc+45ayc\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 15a\):
\(\displaystyle -30abx+90axc+45ayc=15a\left(-\frac{30abx}{15a}+\frac{90axc}{15a}+\frac{45ayc}{15a}\right)\)
и, следовательно,
\(\displaystyle -30abx+90axc+45ayc=15a(-2bx+6xc+3yc).\)
Ответ: \(\displaystyle 15a(-2bx+6xc+3yc).\)
Так как мы делили на \(\displaystyle 15a,\) то случай \(\displaystyle 15a=0\) надо рассмотреть отдельно. В этом случае
\(\displaystyle -30abx+90axc+45ayc=0\) и \(\displaystyle 15a(-2bx+6xc+3yc)=0\) и, следовательно,
\(\displaystyle -30abx+90axc+45ayc=15a(-2bx+6xc+3yc).\)