Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 25u^{\,2}=5^2u^{\,2}=(5u\,)^2\) и \(\displaystyle 100c^{\,2}=10^2c^{\,2}=(10c\,)^2.\)
Далее распишем \(\displaystyle 100uc\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 100uc=2\cdot 5u \cdot 10c.\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=(5u\,)^2+2\cdot 5u \cdot 10c+(10c\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=5u\) и \(\displaystyle b=10c\):
\(\displaystyle (5u\,)^2+2\cdot 5u \cdot 10c+(10c\,)^2=(5u+10c\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=(5u+10c\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (5u+10c\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадрату и удвоенному произведению).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
и
\(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=(a+b\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 25u^{\,2}=5^2u^{\,2}=(5u\,)^2\) и \(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=(5u\,)^2+100uc+100c^{\, 2}.\)
Если \(\displaystyle a^{\,2}=(5u\,)^2,\) то \(\displaystyle a=5u\) или \(\displaystyle a=-5u\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)). Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=5u.\)
Перепишем наше равенство
\(\displaystyle (5u\,)^2+100uc+100c^{\, 2}=\color{blue}{a}^{\, 2}+2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)
подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{5u}\):
\(\displaystyle (5u\,)^2+100uc+100c^{\, 2}=\color{blue}{(5u\,)}^2+2\cdot\color{blue}{5u}\cdot b+b^{\, 2}.\)
В выражении слева с параметром \(\displaystyle u\) стоит слагаемое \(\displaystyle 100uc,\) а справа – \(\displaystyle 2\cdot 5u\cdot b.\) Приравняем их:
\(\displaystyle 100uc=2\cdot 5u\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{100uc}{2\cdot 5u},\)
\(\displaystyle b=10c.\)
Таким образом, \(\displaystyle a=5u\) и \(\displaystyle b=10c.\) Подставляя в равенство \(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=(a+b\,)^2,\) получаем, что
\(\displaystyle 25u^{\,2}+100uc+100c^{\, 2}=(5u+10c\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (5u+10c\,)^2.\)
