Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата суммы - 2

Задание

Найдите квадрат суммы:
 

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36\) является полным квадратом суммы.

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 36=6^2{\small.}\) Далее распишем \(\displaystyle 12x\) как удвоенное произведение:

\(\displaystyle 12x=2\cdot x \cdot 6{\small.}\)

Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2{\small.}\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6{\small:}\)

\(\displaystyle x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2=(x+6)^2{\small.}\)

Таким образом,

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle (x+6)^2{\small.}\)
 

Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36\) является полным квадратом суммы.

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=x^{\, 2}+12x+36\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Заметим, что  \(\displaystyle 36=6^2\) и поэтому

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+12x+6^2{\small.}\)

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}+12x+\color{green}{6^2}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) и  \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{6^2}{\small.}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle x\) или \(\displaystyle -x{\small,}\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 6\) или \(\displaystyle -6\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=x{\small,}\)

\(\displaystyle b=6{\small.}\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}+\color{red}{12x}+6^2{\small,}\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}12x\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) параметра \(\displaystyle x,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 6.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 6{\small,}\)

\(\displaystyle 2ab=12x{\small.}\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6{\small.}\)

Поскольку

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}{\small,}\)

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(a+b\,)^2{\small,}\)

то, подставляя \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle (x+6)^2{\small.}\)