Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{2^{19}\cdot 3^{17}: 2^{12}\cdot 3^{16}} {3^{15}\cdot 2^{11}: 3^9\cdot 3^2} =\) | ||
Напомним, что числитель и знаменатель дроби всегда стоят в скобках, которые опускаются для удобства записи:
\(\displaystyle \frac{2^{19}\cdot 3^{17}: 2^{12}\cdot 3^{16}} {3^{15}\cdot 2^{11}: 3^9\cdot 3^2}= \frac{\left(\,2^{19}\cdot 3^{17}: 2^{12}\cdot 3^{16}\right)} {\left(3^{15}\cdot 2^{11}: 3^9\cdot 3^2\right)}.\)
1. Сначала упростим числитель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{green}{2^{19}}\cdot \color{blue}{3^{17}}: \color{green}{2^{12}}\cdot \color{blue}{3^{16}}= \color{green}{2^{19-12}}\cdot \color{blue}{3^{17+16}} =\color{green}{2^7}\cdot \color{blue}{3^{33}}.\)
2. Теперь упростим знаменатель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{blue}{3^{15}}\cdot \color{green}{2^{11}}: \color{blue}{3^9}\cdot \color{blue}{3^2} =\color{green}{2^{11}} \cdot \color{blue}{3^{15-9+2}} =\color{green}{2^{11}}\cdot \color{blue}{3^8}. \)
Тогда наша дробь примет следующий вид:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{2^{19}}\cdot \color{blue}{3^{17}}: \color{green}{2^{12}}\cdot \color{blue}{3^{16}}} {\color{blue}{3^{15}}\cdot \color{green}{2^{11}}: \color{blue}{3^9}\cdot \color{blue}{3^2}} =\frac{\color{green}{2^7}\cdot \color{blue}{3^{33}}} {\color{green}{2^{11}}\cdot \color{blue}{3^8}}.\)
3. Окончательно упростим нашу дробь, сократив на \(\displaystyle 2^{\small{(\textit{в наименьшей степени})}}=2^7\) (выбирая из \(\displaystyle 2^7\) и \(\displaystyle 2^{11}\)) и \(\displaystyle 3^{\small{(\textit{в наименьшей степени})}}=3^8\) (выбирая из \(\displaystyle 3^{33}\) и \(\displaystyle 3^8\)). Получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{2^7}\cdot \color{blue}{3^{33}}} {\color{green}{2^{11}}\cdot \color{blue}{3^8}}= \frac{\left(\color{green}{2^7}\cdot \color{blue}{3^{33}}\right):\color{green}{2^7}:\color{blue}{3^8} } {\left(\color{green}{2^{11}}\cdot \color{blue}{3^8}\right):\color{green}{2^7}:\color{blue}{3^8}}= \frac{\color{green}{2^{7-7}}\cdot \color{blue}{3^{33-8}}} {\color{green}{2^{11-7}}\cdot \color{blue}{3^{8-8}}}= \frac{\color{green}{2^0}\cdot \color{blue}{3^{25}}} {\color{green}{2^4}\cdot \color{blue}{3^0}}= \frac{ \color{blue}{3^{25}}} {\color{green}{2^4}}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{2^{19}\cdot 3^{17}: 2^{12}\cdot 3^{16}} {3^{15}\cdot 2^{11}: 3^9\cdot 3^2}= \frac{ 3^{25}} {2^4}.\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{3^{25}}{2^4}.\)