В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) с прямым углом \(\displaystyle B\) провели биссектрису \(\displaystyle AD\small.\) Известно, что \(\displaystyle AC=10\small,\) а \(\displaystyle BC=5\small.\) Найдите угол \(\displaystyle DAB\) и вычислите его котангенс:
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ACB\) гипотенуза \(\displaystyle AC=10\) в два раза больше катета \(\displaystyle BC=5\small.\) Тогда это прямоугольный треугольник с углами \(\displaystyle 30^{\circ},\,60^{\circ},\,90^{\circ}\small.\) Причем угол \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит напротив катета, равного половине гипотенузы. То есть \(\displaystyle \angle CAB=30^{\circ}\small.\) |  |
| Поскольку \(\displaystyle AD\) – биссектриса угла \(\displaystyle CAB\small,\) то \(\displaystyle \angle DAB=\frac{\angle CAB}{2}=\frac{30^{\circ}}{2}=15^{\circ}\small.\) |  |
Чтобы найти \(\displaystyle \ctg\angle DAB{ \small ,}\) найдем длину отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BD\small.\)
\(\displaystyle AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^{2}}=5\sqrt{3}\small.\)
Найдем длину отрезка \(\displaystyle BD\small.\)
\(\displaystyle \begin{cases}\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{10}{5\sqrt{3}},\\CD+BD=5.\end{cases}\)
Решая систему, получаем \(\displaystyle BD=\frac{5\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\small.\)
Теперь рассмотрим треугольник \(\displaystyle ADB\small.\) Котангенс угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему: \(\displaystyle \ctg\angle DAB=\ctg15^{\circ}=\frac{AB}{DB}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{5\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle \ctg\angle DAB=\cos15^{\circ}=2+\sqrt{3}\small.\)