Skip to main content

Теория: Диагонали (короткая версия)

Задание

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) параллельны, диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small,}\) \(\displaystyle AO=7{\small,}\) \(\displaystyle BC=12{\small,}\) \(\displaystyle OC=7{\small.}\) Найдите сторону \(\displaystyle AD{\small.}\)

\(\displaystyle AD=\) 

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – четырёхугольник:

  • \(\displaystyle AB \parallel CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle AO=OC=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=12{\small.}\)

Требуется найти сторону \(\displaystyle AD{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle COD{\small.}\)

\(\displaystyle \triangle AOB = \triangle COD\) 

по стороне и двум прилежащим углам:

  • \(\displaystyle AO=OC=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BAO= \angle DCO \) как накрест лежащие при параллельных прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) и секущей \(\displaystyle AC{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BOA= \angle DOC \) как вертикальные.

В результате получаем

\(\displaystyle BO=OD{\small.}\)
 

Правило

Признак параллелограмма

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам,

то он является параллелограммом.

Поскольку \(\displaystyle AO=OC\) и \(\displaystyle BO=OD{\small,}\) то диагонали четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) делятся точкой пересечения пополам. Значит,

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

По свойству параллелограмма:

\(\displaystyle AD=BC=12{\small.}\)

 Ответ: \(\displaystyle AD=12{\small.}\)