Skip to main content

Теория: Задачи повышенного уровня сложности (короткая версия)

Задание

Основание высоты треугольника спроецировали на его стороны, соединили  проекции, и получили отрезок \(\displaystyle a\small.\)

Аналогично получили отрезки \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\small.\)

Стороны треугольника равны: \(\displaystyle AB=10,\,BC=11,\,AC=12\small.\) Найдите отношение отрезков:

\(\displaystyle a:b:c=\) 
1
  \(\displaystyle :\) 
1
  \(\displaystyle :\) 
1
Решение

Посмотрим на рисунок к задаче.

Обозначим углы треугольника:

\(\displaystyle \angle BAC=\alpha\small,\) \(\displaystyle \angle ABC=\beta\) и \(\displaystyle \angle ACB=\gamma\small.\)

А еще обозначим длину высоты \(\displaystyle AH\) за \(\displaystyle h_a\small.\)

 

Выразим \(\displaystyle a\) через \(\displaystyle h_a\) и \(\displaystyle \alpha{\small:}\)

\(\displaystyle a=h_a\sin\alpha\small.\)

Посмотрим на прямоугольный треугольник \(\displaystyle ANH\small.\)

Обозначим угол \(\displaystyle AHN\) за \(\displaystyle \varphi\small.\)

Тогда в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ANH{:}\)

  • гипотенуза \(\displaystyle AH\) равна \(\displaystyle h_a\small,\)
  •  \(\displaystyle \angle H=\varphi\small.\)

Тогда противолежащий катет:

\(\displaystyle AN=AH\sin\angle H=h_a\sin\varphi\small.\)


Отметим, что в четырехугольнике \(\displaystyle MANH\) сумма противоположных углов \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small.\) Значит, \(\displaystyle MANH\) – вписанный и углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

\(\displaystyle \angle AMN=\angle AHN=\varphi.\)

Теперь, чтобы найти \(\displaystyle MN=a{ \small ,}\) воспользуемся теоремой синусов для треугольника \(\displaystyle MAN{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{MN}{\sin\alpha}=\frac{AN}{\sin\varphi}\small.\)

Откуда получаем \(\displaystyle MN{\small:}\)

\(\displaystyle MN=\frac{AN}{\sin\varphi}\cdot\sin\alpha=\frac{h_a\sin\varphi}{\sin\varphi}\cdot\sin\alpha=h_a\sin\alpha\small.\)

То есть \(\displaystyle a=h_a\sin\alpha\small.\)

Аналогично для отрезков \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\) получаем:

\(\displaystyle b=h_b\sin\beta\) и \(\displaystyle c=h_с\sin\gamma\)

Найдем отношение \(\displaystyle a\) к \(\displaystyle b{\small:}\) 

\(\displaystyle a:b=1\small.\)

Посмотрим отношение двух отрезков:

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{h_a\sin\alpha}{h_b\sin\beta}\small.\)

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AHB\) гипотенуза \(\displaystyle AB\) равна

\(\displaystyle AB=\frac{h_a}{\sin\beta}\small.\)

 

А в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABK\) гипотенуза \(\displaystyle AB\) равна

\(\displaystyle AB=\frac{h_b}{\sin\alpha}\small.\)

 

То есть

\(\displaystyle AB=\frac{h_a}{\sin\beta}=\frac{h_b}{\sin\alpha}\) и \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{h_a\sin\alpha}{h_b\sin\beta}=\frac{AB}{AB}=1\small.\)

Аналогично \(\displaystyle a:c=1\) и тогда

\(\displaystyle a:b:c=1:1:1\small.\)

Ответ: \(\displaystyle a:b:c=1:1:1\small.\)