Теория: 05 Модели двух монет и двух игральных костей - частота выпадения (короткая версия)

Сначала найдём число всех элементарных событий. 

Затем найдем число элементарных  событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\) "Сумма выпавших очков на двух кубиках равна \(\displaystyle 9\small\)".

Бросание кубика – это случайный опыт, результатом которого может быть выпадение любого целого числа от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 6\small.\)

Если мы бросим два кубика, то такой эксперимент может окончиться одним из \(\displaystyle 36\)элементарных событий. Все элементарные события можно представить в виде таблицы \(\displaystyle 6\times 6{\small,}\) номер строки которой показывает, сколько очков выпало на первом кубике, а номер столбца – сколько очков выпало на втором кубике. 

Указанные элементарные события равновозможны. 

Итак, число всех элементарных событий равно\(\displaystyle \color{green}{36}{\small .}\) 

Для каждого элементарного события найдем сумму выпавших очков на двух кубиках.

Выделим числа \(\displaystyle 9\) в таблице.

Тогда событие "Сумма выпавших очков на двух кубиках равна \(\displaystyle 9\small\)" происходит в четырех случаях.  

Число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A{\small ,}\) равно \(\displaystyle \color{red}{4}{\small .}\)

Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) по правилу:

\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}=\frac{\color{red}{4}}{\color{green}{36}}=\frac{1}{9}{\small .}\)

Выделим числа \(\displaystyle 7\) в таблице.

Тогда событие "Сумма выпавших очков на двух кубиках равна \(\displaystyle 7\small\)" происходит в шести случаях.  

Число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle B{\small ,}\) равно \(\displaystyle \color{orange}{6}{\small .}\)

Найдём вероятность \(\displaystyle P(B)\) наступления события \(\displaystyle B\) по правилу:

\(\displaystyle P(B)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}=\frac{\color{orange}{6}}{\color{green}{36}}=\frac{1}{6}{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме двух очков.

\(\displaystyle \color{magenta}2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Два очка в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{1}\) раз.

Значит, частота выпадения двух очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{2}=\frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{20}}=0{,}05{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме трех очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,\color{magenta}3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,\color{magenta}3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Три очка в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{2}\) раза.

Значит, частота выпадения трех очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{3}=\frac{\color{red}{2}}{\color{blue}{20}}=0{,}1{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме четырех очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,\color{magenta}4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Четыре очка в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{1}\) раз.

Значит, частота выпадения четырех очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{4}=\frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{20}}=0{,}05{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме пяти очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,\color{magenta}5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,\color{magenta}5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Пять очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{2}\) раза.

Значит, частота выпадения пяти очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{5}=\frac{\color{red}{2}}{\color{blue}{20}}=0{,}1{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме шести очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,\color{magenta}6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,\color{magenta}6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,\color{magenta}6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Шесть очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза.

Значит, частота выпадения шести очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{6}=\frac{\color{red}{3}}{\color{blue}{20}}=0{,}15{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме семи очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,\color{magenta}7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,\color{magenta}7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,\color{magenta}7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,\color{magenta}7{\small.}\)

Семь очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{4}\) раза.

Значит, частота выпадения семи очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{7}=\frac{\color{red}{4}}{\color{blue}{20}}=0{,}2{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме восьми очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,\color{magenta}8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,\color{magenta}8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,\color{magenta}8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Восемь очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза.

Значит, частота выпадения восьми очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{8}=\frac{\color{red}{3}}{\color{blue}{20}}=0{,}15{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме девяти очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,\color{magenta}9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Девять очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{1}\) раз.

Значит, частота выпадения девяти очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{9}=\frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{20}}=0{,}05{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме десяти очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,\color{magenta}{10}{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,\color{magenta}{10}{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Десять очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{2}\) раза.

Значит, частота выпадения десяти очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{10}=\frac{\color{red}{2}}{\color{blue}{20}}=0{,}1{\small .}\)

Подсчитаем количество выпадений в сумме одиннадцати очков.

\(\displaystyle 2{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,9{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,4{\small,}\,\,\,3{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,\color{magenta}11{\small,}\,\,\,7{\small,}\,\,\,5{\small,}\,\,\,8{\small,}\,\,\,10{\small,}\,\,\,6{\small,}\,\,\,7{\small.}\)

Одиннадцать очков в сумме выпало \(\displaystyle \color{red}{1}\) раз.

Значит, частота выпадения одиннадцати очков в сумме составляет 

\(\displaystyle n_{11}=\frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{20}}=0{,}05{\small .}\)

Сумма частот составляет \(\displaystyle 0{,}05+0{,}1+0{,}05+0{,}1+0{,}15+0{,}2+0{,}15+0{,}05+0{,}1+0{,}05+0=1{\small .}\)

Вероятность выпадения в сумме \(\displaystyle 9\) очков составляет \(\displaystyle \frac{1}{9}\small.\)

Частота выпадения в сумме \(\displaystyle 9\) очков составляет \(\displaystyle 0{,}05{\small .}\)

Так как 

\(\displaystyle \frac{1}{9} > 0{,}05=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}{\small ,}\)

то вероятность выпадения в сумме \(\displaystyle 9\) очков больше частоты выпадения в сумме \(\displaystyle 9\) очков.

Вероятность выпадения в сумме \(\displaystyle 7\) очков составляет \(\displaystyle \frac{1}{6}\small.\)

Частота выпадения в сумме \(\displaystyle 7\) очков составляет \(\displaystyle 0{,}2{\small .}\)

Так как 

\(\displaystyle \frac{1}{6} < 0{,}2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}{\small ,}\)

то вероятность выпадения в сумме \(\displaystyle 7\) очков меньше частоты выпадения в сумме \(\displaystyle 7\) очков.