Теория: 06 Выбор числа из числового промежутка - 2 (короткая версия)

\(\displaystyle P(A_1)=P\left(x > \frac{1}{5}\right) = \, ?\)

Поскольку одновременно \(\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(\displaystyle x > \frac{1}{5}{\small,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{5} < x \leqslant 1{\small.}\)

Так как случайно выбранное из отрезка число принимает каждое конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал и в отрезок совпадают. Получаем:
 

\(\displaystyle P(A_1)=P\left(x > \frac{1}{5}\right)=P\left(\frac{1}{5} < x \leqslant 1 \right)=P\left(\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1\right) \! {\small.}\)

На числовой прямой двойному неравенству \(\displaystyle \frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1\) соответствует отрезок \(\displaystyle \left[ \frac{1}{5};\,1\right]{\small.}\)

Найдём вероятность попадания случайной точки с координатой \(\displaystyle x\) из отрезка \(\displaystyle \color {blue}{[0;\,1]}\) в отрезок \(\displaystyle \color {red}{\left[\frac{1}{5};\,1\right]}{\small.}\)

По формуле геометрической вероятности получаем:
 

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1\right)=\frac{{\small{длина}} \color {red}{\left[\dfrac{1}{5};\,1 \right]}}{{\small{длина}}\,\, \color {blue}{\big[0;\,1\big]}}=\frac{1-\dfrac{1}{5}}{1-0}=\frac{\;\dfrac{4}{5}\;}{1}=\frac{4}{5}{\small.}\)

Окончательно имеем:

\(\displaystyle P(A_1)=P\left(x > \frac{1}{5}\right)=P\left(\frac{1}{5} < x \leqslant 1 \right)=P\left(\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1\right)=\frac{4}{5}{\small.}\)

\(\displaystyle P(A_2)=P\left(y > \frac{1}{6}\right) = \, ?\)

Поскольку одновременно \(\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant 1\) и \(\displaystyle y > \frac{1}{6}{\small,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{6} < y \leqslant 1{\small.}\)

Так как случайно выбранное из отрезка число принимает каждое конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал и в отрезок совпадают. Получаем:
 

\(\displaystyle P(A_2)=P\left(y > \frac{1}{6}\right)=P\left(\frac{1}{6} < y \leqslant 1 \right)=P\left(\frac{1}{6} \leqslant y \leqslant 1\right) \! {\small.}\)

На числовой прямой двойному неравенству \(\displaystyle \frac{1}{6} \leqslant y \leqslant 1\) соответствует отрезок \(\displaystyle \left[ \frac{1}{6};\,1\right]{\small.}\)

Найдём вероятность попадания случайной точки с координатой \(\displaystyle y\) из отрезка \(\displaystyle \color {blue}{[0;\,1]}\) в отрезок \(\displaystyle \color {red}{\left[\frac{1}{6};\,1\right]}{\small.}\)

По формуле геометрической вероятности получаем:
 

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{6} \leqslant y \leqslant 1\right)=\frac{{\small{длина}} \color {red}{\left[\dfrac{1}{6};\,1 \right]}}{{\small{длина}}\,\, \color {blue}{\big[0;\,1\big]}}=\frac{1-\dfrac{1}{6}}{1-0}=\frac{\;\dfrac{5}{6}\;}{1}=\frac{5}{6}{\small.}\)

Окончательно имеем:

\(\displaystyle P(A_2)=P\left(y > \frac{1}{6}\right)=P\left(\frac{1}{6} < y \leqslant 1 \right)=P\left(\frac{1}{6} \leqslant y \leqslant 1\right)=\frac{5}{6}{\small.}\)