В лаборатории производится анализ крови. Содержание гемоглобина в крови вычисляется как среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Если квадрат отклонения некоторого значения от среднего арифметического превышает дисперсию более, чем в \(\displaystyle 3{,}5\) раза, то это значение считается ненадежным и в дальнейшем не учитывается.Таблица содержит результаты пяти измерений гемоглобина в г/л в одной пробе крови пациентки.
| Номер испытания | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) |
| Содержание гемоглобина, г/л | \(\displaystyle 130\) | \(\displaystyle 120\) | \(\displaystyle 140\) | \(\displaystyle 50\) | \(\displaystyle 110\) |
Найдите среднее арифметическое и дисперсию измерений.
Среднее арифметическое измерений составляет г/л,
дисперсия составляет .
Есть ли среди данных измерений ненадежные?
Среди данных измерений .
Сначала найдем среднее, потом отклонения от среднего и их квадраты, затем дисперсию. После этого выясним, есть ли среди измерений ненадежные.
В данном наборе \(\displaystyle 5\) чисел, тогда среднее
\(\displaystyle \overline{x}=\frac{130+120+140+50+110}{5}=110\small.\)
Значит, среднее арифметическое измерений составляет \(\displaystyle 110\) г/л.
Возводя в квадрат отклонения, заполним таблицу:
| Значение \(\displaystyle x\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) |
| \(\displaystyle 130\) | \(\displaystyle 130-110=20\) | \(\displaystyle 20^2=400\) |
| \(\displaystyle 120\) | \(\displaystyle 120-110=10\) | \(\displaystyle 10^2=100\) |
| \(\displaystyle 140\) | \(\displaystyle 140-110=30\) | \(\displaystyle 30^2=900\) |
| \(\displaystyle 50\) | \(\displaystyle 50-110=-60\) | \(\displaystyle (-60)^2=3600\) |
| \(\displaystyle 110\) | \(\displaystyle 110-110=0\) | \(\displaystyle 0^2=0\) |
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего,
\(\displaystyle S^2=\frac{400+100+900+3600+0}{5}=1000\small.\)
Если квадрат отклонения некоторого значения от среднего арифметического превышает дисперсию более, чем в \(\displaystyle 3{,}5\) раза, то это значение считается ненадежным.
Найдем отношения квадратов отклонений к дисперсии и проверим надежность всех измерений.
- В первом измерении отношение квадрата отклонения к дисперсии составляет \(\displaystyle 400:1000=0{,}4\small,\) что меньше \(\displaystyle 3{,}5\small.\) Значит, первое измерение надежное.
- Во втором измерении отношение квадрата отклонения к дисперсии составляет \(\displaystyle 100:1000=0{,}1\small,\) что меньше \(\displaystyle 3{,}5\small.\) Значит, второе измерение надежное.
- В третьем измерении отношение квадрата отклонения к дисперсии составляет \(\displaystyle 900:1000=0{,}9\small,\) что меньше \(\displaystyle 3{,}5\small.\) Значит, третье измерение надежное.
- В четвертом измерении отношение квадрата отклонения к дисперсии составляет \(\displaystyle 3600:1000=3{,}6\small,\) что больше \(\displaystyle 3{,}5\small.\) Значит, четвертое измерение ненадежное.
- В пятом измерении отношение квадрата отклонения к дисперсии составляет \(\displaystyle 0:1000=0\small,\) что меньше \(\displaystyle 3{,}5\small.\) Значит, пятое измерение надежное.
Четвертое измерение оказалось ненадежным, а остальные измерения – надежные.
Значит, среди измерений есть ненадежные.
Ответ: среднее арифметическое измерений составляет \(\displaystyle 110\) г/л, дисперсия составляет \(\displaystyle 1000\small,\) среди измерений есть ненадежные.