Найдите произведение выражений, используя формулу "сумма кубов":
Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.
Сумма кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}+b^{\,3}=(a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})\)
Перепишем формулу "сумма кубов" в обратном порядке:
\(\displaystyle (a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})=a^{\,3}+b^{\,3}.\)
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ \color{blue}{(u+w\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}+b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)
Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(u+w\,)}&=\color{blue}{(a+b\,)},\\ \color{green}{(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)
Данные равенства верны при \(\displaystyle a=u\) и \(\displaystyle b=w.\) Следовательно,
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(u+w\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}+b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{u^{\,3}+w^{\,3}} \end{array} \end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (u+w\,)(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})=u^{\,3}+w^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf u}^{\,3}+{\bf w}^{\,3}.\)
Неполный квадрат разности
Выражение\(\displaystyle a^{\,2}-ab+b^{\,2}\)
называется неполным квадратом разности параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)