Теория: Нахождение суммы кубов

Перепишем формулу "сумма кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})=a^{\,3}+b^{\,3}.\)

Или, что то же самое,

\(\displaystyle (a^{\,2}-ab+b^{\,2})(a+b\,)=a^{\,3}+b^{\,3}.\)

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(36-6w+w^{\,2})} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ \color{blue}{(6+w\,)} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}+b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 36=6^2,\) то можно записать:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(6^2-6w+w^{\,2})} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ \color{blue}{(6+w\,)} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}+b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(6+w\,)}&=\color{blue}{(a+b\,)},\\ \color{green}{(6^2-6w+w^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=6\) и \(\displaystyle b=w.\) Cледовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(6^2-6w+w^{\,2})} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(6+w\,)} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}+b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{6^3+w^{\,3}} \end{array} \end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle (6^2-6w+w^{\,2})(6+w\,)=6^3+w^{\,3}=216+w^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf 216}+{\bf w}^{\,3}.\)