Skip to main content

Теория: Разложение разности кубов

Задание

Раскройте разность кубов:
 

\(\displaystyle 125s^{\,3}-343t^{\,3}=\big(\)
5s-7t
\(\displaystyle \big)\big(\)
25s^2+35st+49t^2
\(\displaystyle \big)\)


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Сначала заметим, что поскольку \(\displaystyle 125s^{\,3}=5^3s^{\, 3}=(5s\,)^3\) и \(\displaystyle 343t^{\,3}=7^3t^{\, 3}=(7t\,)^3,\) то

\(\displaystyle 125s^{\,3}-343t^{\,3}=(5s\,)^3-(7t\,)^3.\)

Теперь воспользуемся формулой "Разность кубов".

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

В нашем случае, где \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=7t,\) получаем:

\(\displaystyle (5s\,)^3-(7t\,)^3=(5s-7t\,)((5s\,)^2+5s\cdot 7t+(7t\,)^2).\)

Найдем числовые коэффициенты:

\(\displaystyle \begin{aligned}(5s-7t\,)((5s\,)^2+5s\cdot 7t+(7t\,)^3)&=(5s-7t\,)(5^2s^{\,2}+35st+7^2t^{\,2})=\\&=(5s-7t\,)(25s^{\,2}+35st+49t^{\,2})\end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 125s^{\,3}-343t^{\,3}=(5s-7t\,)(25s^{\,2}+35st+49t^{\,2}).\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 5s-7t}\,)({\bf 25s^{\,2}+35st+49t^{\,2}}).\)