Skip to main content

Теория: Деление многочлена на одночлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Найдите частное при делении многочлена \(\displaystyle 30y^{\,10}-60y^{\,7}\) на одночлен \(\displaystyle -6y^{\,7}\) в столбик и восстановите процесс деления:
 

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle 30y^{\,10}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle 60y^{\,7}\) \(\displaystyle -6y^{\,7}\)
30y^{10}
 
-5y^3
+10
    \(\displaystyle -\)
-60y^7
   
-60y^7
      \(\displaystyle 0\)


С учетом известного частного запишите разложение на множители:

\(\displaystyle 30y^{\,10}-60y^{\,7}=-6y^{\,7}\cdot \big(\)
-5y^3+10
\(\displaystyle \big){\small . }\)
Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle 30y^{\,10}-60y^{\,7}\) на одночлен \(\displaystyle -6y^{\,7}\) в столбик.

Шаг 1

Шаг 1. Многочлен \(\displaystyle {\bf 30y^{\,10}-60y^{\,7}}{\small .}\)


1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{blue}{30y^{\,10}}-60y^{\,7}{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{blue}{30y^{\,10}}{\small .}\)


2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{blue}{30y^{\,10}}\) на одночлен \(\displaystyle -6y^{\,7}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{30y^{\,10}}}{-6y^{\,7}}=\color{blue}{-5y^{\, 3}}{\small .}\)


Записываем результат деления как первое слагаемое частного:

\(\displaystyle \small \color{blue}{30y^{\,10}}-60y^{\,7}\) \(\displaystyle \small -6y^{\,7}\)
  \(\displaystyle \small \color{blue}{-5y^{\, 3}}\,?\)


3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{blue}{30y^{\,10}}-60y^{\,7}\) одночлен \(\displaystyle \color{blue}{30y^{\,10}}=-6y^{\,7}\cdot (\color{blue}{-5y^{\,3}}) {\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small \color{blue}{30y^{\,10}}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 60y^{\,7}\) \(\displaystyle \small -6y^{\,7}\)
\(\displaystyle \small\color{blue}{30y^{\,10}}\)     \(\displaystyle \small \color{blue}{-5y^{\,3}}\,?\)
      \(\displaystyle \small -60y^{\,7}\)  

Получаем одночлен \(\displaystyle -60y^{\,7}{\small . }\)

Шаг 2

Шаг 2. Многочлен \(\displaystyle {\bf -60y^{\,7}}{\small .}\)


1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{green}{-60y^{\,7}}{\small ,}\) это и есть сам одночлен \(\displaystyle \color{green}{-60y^{\,7}}{\small .}\)


2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{green}{-60y^{\,7}}\) на одночлен \(\displaystyle -6y^{\,7}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{green}{-60y^{\,7}}}{-6y^{\,7}}=\color{green}{10}{\small .}\)


Записываем результат как второе слагаемое частного со знаком \(\displaystyle "+"\):

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 30y^{\,10}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 60y^{\,7}\) \(\displaystyle \small -6y^{\,7}\)
\(\displaystyle \small 30y^{\,10}\)     \(\displaystyle \small \color{blue}{-5y^{\,3}}\color{green}{+10}\)
      \(\displaystyle \small\color{green}{-60y^{\,7}}\)      


3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{green}{-60y^{\,7}}\) одночлен \(\displaystyle \color{green}{-60y^{\,7}}=-6y^{\,7}\cdot \color{green}{10}{\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 30y^{\,10}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 60y^{\,7}\) \(\displaystyle \small -6y^{\,7}\)
\(\displaystyle \small 30y^{\,10}\)     \(\displaystyle \small \color{blue}{-5y^{\,3}}\color{green}{+10}\)
    \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small\color{green}{-60y^{\,7}}\)  
    \(\displaystyle \small\color{green}{-60y^{\,7}}\)  
      \(\displaystyle \small 0\)  

В итоге получаем  \(\displaystyle 0{\small ,}\) процесс деления закончен.

Таким образом,

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 30y^{\,10}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 60y^{\,7}\) \(\displaystyle \small -6y^{\,7}\)
\(\displaystyle \small 30y^{\,10}\)     \(\displaystyle \small -5y^{\,3}+10\)
    \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small -60y^{\,7}\)  
    \(\displaystyle \small -60y^{\,7}\)  
      \(\displaystyle \small 0\)  

и

\(\displaystyle 30y^{\,10}-60y^{\,7}=-6y^{\, 7}\cdot (-5y^{\,3}+10){\small .}\)