Skip to main content

Теория: Разложение на множители, метод группировки (произведение двучленов)

Задание

Разложите на множители в произведение двучленов:
 

\(\displaystyle 15x^{\,3}-32-12x^{\,2}+40x=\big(\)
5x-4
\(\displaystyle \big)\big(\)
3x^2+8
\(\displaystyle \big)\)
 
Напомним, что двучлен – это сумма (или разность)  двух одночленов.
Решение

Из условия следует, что исходный многочлен является поизведением двух двучленов, то есть в каждой скобке должно быть по два одночлена.

Используем следующий метод для разложения многочлена на множители.

Запишем данный многочлен в стандартном виде:

\(\displaystyle 15x^{\,3}-32-12x^{\,2}+40x=15x^{\,3}-12x^{\,2}+40x-32.\)

Замечание / комментарий

В методе группировки нельзя группировать одночлен самой старшей степени с одночленом самой младшей степени (младшая степень может быть равной нулю).

В нашем случае одночлен, содержащий старшую степень переменной, – это \(\displaystyle 15x^{\,3}\) (третья степень), а одночлен, содержащий младшую степень переменной, – это \(\displaystyle -32\) (нулевая степень). Следовательно, одночлены \(\displaystyle 15x^{\,3}\) и \(\displaystyle -32\) всегда должны быть в разных скобках. Поэтому существуют два варианта группировки:

1) \(\displaystyle \color{red}{15x^{\,3}}-\color{red}{12x^{\,2}}+\color{blue}{40x}-\color{blue}{32}=(\color{red}{15x^{\,3}-12x^{\,2}})+(\color{blue}{40x-32}),\)

2) \(\displaystyle \color{red}{15x^{\,3}}-\color{blue}{12x^{\,2}}+\color{red}{40x}-\color{blue}{32}=(\color{red}{15x^{\,3}+40x})+(\color{blue}{-12x^{\,2}-32}).\)

Любой из данных вариантов приведет к разложению на множители. Рассмотрим первый вариант группировки.

\(\displaystyle (15x^{\,3}-12x^{\,2})+(40x-32).\)

Найдем наибольший общий множитель одночленов, стоящих в первой скобке \(\displaystyle (15x^{\,3}-12x^{\,2})\), как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и переменной в наименьшей степени.

  1. Согласно разложению на множители или алгоритму Евклида наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(15,12)=3.\)
  2. Переменной \(\displaystyle x\) в наименьшей степени является \(\displaystyle x^{\,2}\) (выбираем из \(\displaystyle x^{\,3}\) и \(\displaystyle x^{\,2}\)).

Значит, наибольший общий множитель одночленов \(\displaystyle 15x^{\,3}\) и \(\displaystyle -12x^{\,2}\) равен \(\displaystyle 3x^{\, 2}.\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 15x^{\,3}-12x^{\,2}=3x^{\,2}\,(5x-4).\)

Далее найдем наибольший общий множитель одночленов, стоящих во второй скобке \(\displaystyle (40x-32)\), как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и переменной в наименьшей степени.

  1. Согласно разложению на множители или алгоритму Евклида наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(40,32)=8.\)
  2. Переменной \(\displaystyle x\) в наименьшей степени является \(\displaystyle x^{\,0}=1\) (выбираем из \(\displaystyle x^{\,1}=x\) и \(\displaystyle x^{\,0}=1\)).

Значит, наибольший общий множитель одночленов \(\displaystyle 40x\) и \(\displaystyle -32\) равен \(\displaystyle 8.\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 40x-32=8\,(5x-4).\)

Возвращаясь к исходному выражению, имеем:

\(\displaystyle (15x^{\,3}-12x^{\,2})+(40x-32)=3x^{\,2}\,(5x-4)+8\,(5x-4).\)

Заметим, что оба выражения \(\displaystyle 3x^{\,2}\,\color{blue}{(5x-4)}\) и \(\displaystyle 8\,\color{blue}{(5x-4)}\) имеют один и тот же множитель \(\displaystyle \color{blue}{(5x-4)}.\) Значит, этот множитель также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 3x^{\,2}\,\color{blue}{(5x-4)}+8\,\color{blue}{(5x-4)}=\color{blue}{(5x-4)} (3x^{\,2}+8).\)

Таким образом,

\(\displaystyle 15x^{\,3}-32-12x^{\,2}+40x=({\bf 5}{\pmb x}-{\bf 4}) ({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}+{\bf 8}).\)

Ответ: \(\displaystyle (5x-4) (3x^{\,2}+8).\)