Skip to main content

Теория: 10 Теорема Пифагора и касательные к окружности (короткая версия)

Задание

Центры двух окружностей радиусов \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5\) находятся на расстоянии \(\displaystyle 10{\small.}\) Найдите длину отрезка внешней касательной.

4\sqrt{6}
Решение

Обозначим центры окружностей буквами \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle E{\small,}\) а точки касания общей касательной с окружностями буквами \(\displaystyle X\) и \(\displaystyle Y\) соответственно.

Проведём радиусы \(\displaystyle OX\) и \(\displaystyle EY{\small.}\)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

  • \(\displaystyle OX \perp XY{\small;}\)
  • \(\displaystyle EY \perp XY{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из точки \(\displaystyle O\) проведём перпендикуляр \(\displaystyle OK\) к отрезку \(\displaystyle EY{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle OXYK\) три угла прямые, значит,

\(\displaystyle OXYK\) – прямоугольник.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть

  • \(\displaystyle YK=OX=3{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{red}{XY}=\color{red}{OK}{\small.}\)

Найдем длину \(\displaystyle KE{\small:}\)

\(\displaystyle KE=EY-YK=5-3=2\small.\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle OKE{\small.}\)

  • \(\displaystyle KE=2\) – катет;
  • \(\displaystyle OE=10\) – гипотенуза.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(\displaystyle OE^2=OK^2+KE^2\small.\)


Найдем \(\displaystyle OK{\small:}\)

\(\displaystyle OK^2=OE^2-KE^2=10^2-2^2=96\small,\)

\(\displaystyle OK=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\small.\)

То есть

\(\displaystyle \color{red}{XY}=\color{red}{OK}=4\sqrt{6}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 4\sqrt{6}\small.\)