Skip to main content

Теория: 10 Теорема Пифагора и касательные к окружности (короткая версия)

Задание

Центры двух окружностей радиусов \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5\) находятся на расстоянии \(\displaystyle 10\small.\) Найдите длину отрезка внутренней касательной.

6
Решение

Обозначим центры окружностей буквами \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle E{\small,}\) а точки касания общей касательной с окружностями буквами \(\displaystyle X\) и \(\displaystyle Y\) соответственно.

Проведём радиусы \(\displaystyle OX\) и \(\displaystyle EY{\small.}\)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

  • \(\displaystyle OX \perp XY{\small;}\)
  • \(\displaystyle EY \perp XY{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из точки \(\displaystyle E\) проведём перпендикуляр \(\displaystyle EK\) к продолжению отрезка \(\displaystyle OX{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle XKEY\) три угла прямые, значит,

\(\displaystyle XKEY\) – прямоугольник.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть

  • \(\displaystyle XK=EY=5{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{red}{XY}=\color{red}{KE}{\small.}\)

 

Найдем длину \(\displaystyle OK{\small:}\)

\(\displaystyle OK=OX+XK=3+5=8{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle OKE{\small.}\)

  • \(\displaystyle OK=8\) – катет;
  • \(\displaystyle OE=10\) – гипотенуза.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(\displaystyle OE^2=OK^2+KE^2\small.\)

Найдем \(\displaystyle KE{\small:}\)

\(\displaystyle KE^2=OE^2-OK^2=10^2-8^2=36{\small,}\)

\(\displaystyle KE=\sqrt{36}=6{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \color{red}{XY}=\color{red}{KE}=6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)