В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведена высота из вершины \(\displaystyle C\) прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 18\small.\) Найдите катеты треугольника \(\displaystyle ABC\small.\)
\(\displaystyle BC=\) и \(\displaystyle AC=\)
Обозначим точку касания треугольника с окружностью буквой \(\displaystyle K{\small .} \)
Отрезок \(\displaystyle CK\) – диаметр окружности. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. Тогда \(\displaystyle \angle KLC=\angle KMC=90^{\circ}{\small.}\) |  |
В четырехугольнике \(\displaystyle KLCM\) три прямых угла. То есть \(\displaystyle KLCM\)– прямоугольник.
Противоположные стороны прямоугольника равны:
\(\displaystyle KM=LC=12\) и \(\displaystyle LK=CM=18\small.\)
Для прямоугольных треугольников \(\displaystyle BKC\) и \(\displaystyle AKC\) воспользуемся правилом:
Высота в прямоугольном треугольнике равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. |  |
Для треугольника \(\displaystyle BKC\) получаем: \(\displaystyle KL=\sqrt{BL\cdot LC}\small,\) \(\displaystyle 18=\sqrt{BL\cdot12}\small.\) Откуда найдем \(\displaystyle BL\) и \(\displaystyle BC{\small:}\) \(\displaystyle BL=\frac{18^2}{12}=27\) и \(\displaystyle BC=12+27=39\small.\) |  |
Для треугольника \(\displaystyle AKC\) получаем: \(\displaystyle KM=\sqrt{AM\cdot MC}\small,\) \(\displaystyle 12=\sqrt{AM\cdot18}\small.\) Откуда найдем \(\displaystyle BL\) и \(\displaystyle BC{\small:}\) \(\displaystyle AM=\frac{12^2}{18}=8\) и \(\displaystyle AC=8+18=26\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle BC=39\) и \(\displaystyle AC=26\small.\)